立马就能得到位置算符x和动量算符p的不确定关系（ℏ=h/2π）：

这就是位置和动量之间的不确定性关系，也是大家最常见的不确定性原理。

只不过，大家平常看到的大多是用ΔxΔp来表述的，我们这里用了更加不容易引起误解的标准差σxσp，这样大家一看就知道我们这是从统计意义上来说不确定性原理了。

位置-动量不确定关系告诉我们：位置算符x和动量算符p的标准差的乘积σxσp有一个最小值ℏ/2，它不能无限小，更不能等于0。因此，σx和σp不能同时为0。

而我们又知道，只有当系统处于力学量的本征态时，对应力学量的标准差σ才为0。你现在说σx和σp不能同时为0，那就意味着系统不能同时处于位置和动量的本征态。否则，位置的标准差σx=0，动量的标准差σp=0，这就违背了它们之间的不确定关系σxσp≥ℏ/2。

因此，当我们测量一个粒子的位置时，系统会从原来的状态变成某个位置本征态。当系统处于位置本征态时，粒子的位置就只可能取一个值，位置的标准差σx=0，此时动量的标准差σp就变成了无穷大（这里0和无穷大相乘并不等于0，这里不细谈）。看上去就是位置和动量之间会相互影响，这样它们的标准差σx、σp才不会同时为0。

这样的话，两个力学量是否对易，就决定了它们的标准差能否同时为0，进而决定了它们能否拥有共同的本征态，决定了它们是否独立。大家要好好理一理这一串逻辑链条，它对理解量子力学是很有帮助的。

明白了这些，再想想一开始的问题，你还会觉得位置和动量的这种不确定关系是由于测量时的扰动造成的么？我们没有测量时，系统状态随着薛定谔方程演化，位置和动量的标准差σx、σp也会随之变化，但不论σx和σp怎么变，它们之间都遵守σxσp≥ℏ/2。

所以，即便你没有测量，位置和动量的不确定关系σxσp≥ℏ/2一样存在。造成这种现象的根源，是位置算符和动量算符之间的不对易[x,p]=iℏ，而不是你测量时有没有扰动。

10傅里叶变换

为了让大家更好地理解这种不对易关系，我们再来看一个更加形象的例子。

假如这里有一头大象，从前面看，你能非常清楚地看到大象的眼睛，但却看不清楚大象的身体；从侧面看，你能非常清楚地看到大象墙壁般的身体，但大象的眼睛我们又看不清楚了。当然，你还可以更换角度，从不同角度看，大象的眼睛和身体的清晰度会不一样，但你找不到一个角度让你既能看清楚大象的眼睛，又能看清楚大象的身体。

这跟位置和动量的不确定关系就有点像了：我们可以找到一个角度“看清”粒子的位置，让测量时粒子的位置有确定值，这时候位置的标准差σx最小（位置本征态）；也可以找一个角度“看清”粒子的动量，让测量时粒子的动量有确定值，这时候动量的标准差σp最小（动量本征态）。但是，你找不到一个角度能同时“看清”粒子的位置和动量，让位置的标准差σx和动量的标准差σp同时达到最小值（无法同时处于位置和动量的本征态），它们之间有σxσp≥ℏ/2这样一个绕不过去的门槛。

这样一来，我们更能清晰地看到：我们之所以无法同时看清楚大象的眼睛和身体，并不是因为测量仪器不够精确，也不是因为测量时有什么扰动。而是因为大象的眼睛和身体一个在正面，一个在侧面，大象的身体结构决定了我们无法同时看清楚这两者，这是大象的“固有性质”，跟你测不测量无关。

同理，我们无法同时确定粒子的位置和动量，也不是因为测量仪器不够准确，不是因为测量时有什么扰动。而是因为粒子的位置和动量是不对易的，是位置和动量的这种关系[x,p]=iℏ决定了我们无法同时确定这两者，这也是粒子的固有性质，跟你测不测量无关。

就像我们处理信号一样，我们处理信号既可以从时域看，也可以从频域看，不同角度看到的样子并不一样，它们之间就差了一个傅里叶变换。