1、椭圆周长公式为C=T(a b)，T与离心率e有关，它是非初等函数纯粹是因为T与e没有数学符号可以直接联系起来，然而我们可以设一个前缀Ell将T与e联系起来，即T=Ell(e)(Ell(0)=π)，就像三角函数那样,这样椭圆周长公式为C=Ell(e)(a b)，也就变成初等函数了。

多余了。

e取某个值的时候，椭圆的扁平程度就固定了，只能缩放变化所以周长正比于轴长。

既然把e藏在T里，那么C=T(a b)都不必了，直接C=T(a)就行。

至于后面，

如果能设一个Ell将T与e联系起来，那还联什么T，干脆联ab好了，

直接C=Ell(a,b)完事，难点本来就在于这个不好联系。

但是写成这样子有用吗，跟z=f(x,y)有什么区别？

这要也算初等函数，全天下函数都是初等了。

2、我一直都不能理解，在欧式平面下，一条确定长度的线段圈成圆，长度怎么就不确定了，后来明白是圈成圆圈的过程存在问题，那我们假设存在一种方式能圈成一个完美的圆（朴素的理解一条手尾相接的线可以膨胀成完美的圆）一个确定数怎么就变成不确定数了，特别奇怪。

后来了解了一点黎曼空间，曲线可以看做是球面直线投影，考虑曲率之后就理解了，欧式平面下曲线不能算是线，只能说是一个个点组成的集合，是不连续的。

3、一条确定长度的线段圈成一个圆，那这个圆的周长就是固定的啊，只是说这个半径和面积就无法直接确定，要用周长公式来算。你把这个线段圈成一个椭圆都行，这样这个椭圆的周长就固定了，只是说这个椭圆的面积、焦距、离心率就只能接近没法算出来了而已。

4、我来说一个简单的理解 ：椭圆是由单位且圆心在原点的圆 在x轴伸展a倍 y轴伸展b倍得来的 也就是说微分上 x轴伸展a倍 y轴伸展b倍 因为单区间角度是从0到90度不定变化的 这也就会使微分弧长的量发生不确定的改变 具体理解就是切线的斜率不定 除非a=b 虽然严格意义上来说能够计算出来 但是确实没有能够非常方便概括的公式 面积就不一样了 面积的微分在二重积分里可以看作是x的微分✖️y的微分 所以面积变成了原来的ab倍（本人非数学专业 但是最近考研学过一点弧长计算 虽然不严谨 但还是有一些依据的 如果有错请用更加专业的数学知识在下方科普 我这个已经算是非数学专业的极限了）

5、感觉最后都归结为定积分的话简单是因为那个被积函数到后面很容易去掉根式找到原函数，从而归结为三角函数的积分这是我们已知的。但是用计算弧长的公式来计算我们找不到这样一个合适的参数去掉这个根号。也就是说很难想到一个合适的变量来重写这个积分使得它变成我们熟悉的情况。

6、用极限思想看，如果e趋于1，b趋于0，c=a。是个无限扁的椭圆，扁到近似两条线。那么周长就是4或者说4c。

椭圆面积也可以用二面角求，

7、设平面β上一个椭圆C，不妨让C绕短轴旋转θ弧度，θ就是椭圆面与平面β的二面角，令cosθ=b/a，这时椭圆在平面β上的射影就是半径为b的圆，圆面积S等于πb²，椭圆面积就等于S/cosθ=πb²*（a/b）=πab。

8、当初数学家在用积分算椭圆周长的时候，也没有得出精确的表达式，但是无意间得到了大名鼎鼎的椭圆曲线y^2=x^3 ax b现在有限域下的椭圆曲线被广泛运用在密码学中。

9、椭圆积分，专门有个表格，有一本书那么厚。

10、 π这个常数应该是一个特殊函数在e=0时的取值，假设函数D（e），则D（0）=π。所以，像是sinx，cosx等三角函数，应该都是D（0）=π的情况，也就是说sinx这种三角函数其实是片面的，存在更广泛的函数未被发现。

已知D（0）=π，对应为圆，那么D（1）=？对于抛物线。

11、按照历史的话，应该是先测量的周长和直径才确定的圆周率，如果放在物理里参考欧姆定律，圆的周长公式其实是在描述周长与直径的关系而非计算周长。

12、会不会是π这个常数限制了椭圆周长的计算，既然人们在研究圆的时候提出了圆周率这个常数，而圆是一种特殊的椭圆，那有没有一种可能椭圆中也存在一个特殊的常数，使得这个常数可以更好的计算出椭圆的周长和面积，而且这个常数与π有关系。

13、公式不是初等函数 其实可以令椭圆周率=周长/长轴 他是关于离心率的函数∏(e) 比如∏(0)=π ∏(1)=2。

14、椭圆的周长我试过用第一类曲线积分去表示，可以表示出来（把dL用√dx² dy²取代），最后会得出一个含有a,c和三角的积分表达式，可是本科学历的我就怎么也处理不了那个积分了，所以就只能摆在那里了。另外有一个比较有趣的结论：虽然求不出椭圆周长的具体表达式（我指的是不含积分式的表达式），但是可以发现对于任意一个椭圆，总存在特定的正弦函数使得后者在一个周期的图像长度刚好等于原椭圆的周长，在椭圆参数已知的情况下甚至可以计算出该正弦函数的表达式（当然表达式中涉及图像位置的参数无法确定，这是由问题本身所决定的事实）。