用勾股定理解决正方形中的“十字”问题（八年级数学）

在八年级数学《平行四边形》一章中，正方形内两条互相垂直的线段模型，我们称之为“十字”问题，当然它主要的作用是构造全等或直角三角形，在正方形中遇到互相垂直的线段，需要联想到相应的结论，以采用有针对性的方法。

题目

如图，正方形ABCD中，E是AB的中点，F在BC边上，BF=nBC，FG⊥DE交DF于点H，交AD于点G.

(1)如图1，当点F，C重合时，求DH:EH的值；

(2)如图2，若GF垂直平分DE，求n的值；

(3)如图3，n为何值时，∠FAD=2∠ADE？

解析：

(1)这属于典型的十字模型，包含一对全等三角形，△ADE≌△DCG，于是得到DE=CG，于是利用这组等量，我们可进行比值的求解。

设正方形边长为x，则AE=x/2，可用勾股定理求出DE=√5x/2，因为FG⊥DE，在Rt△CDG中，利用面积法可得FG·DH=CD·DG，可求得DH=√5x/5，因此EH=DE-DH=√5x/10，最后求比值结果为2:3；

(2)从题目条件中新增的垂直平分线出发，根据垂直平分线的性质，FG上的点到DE两端的距离相等，因此可连接FD和FE，得到一对斜边相等的直角三角形，分别是Rt△DCF和Rt△BEF，其中Rt△BEF包含我们需要求的n，即BF=nx，如下图：

仍然设正方形边长为x，则AE=BE=x/2，BF=nx，CF=(1-n)x，CD=x，因为DF²=CD² CF²，DE²=BE² BF²，所以CD² CF²=BE² BF²，将线段分别用含x的代数式表示，就能得到一个方程，x² (1-n)²x²=x²/4 n²x²，两边同时除以x²之后，是一个含n的方程，1 (1-n)²=1/4 n²，解得n=7/8；

(3)这道题的难点在于对条件∠FAD=2∠ADE的处理，从图中看，∠ADE是△ADE的一个内角，这恰好是个特殊直角三角形，两直角边比为1：2，在倍角关系中，常见办法有分和凑，不妨将较大的角分成相等的两部分，于是可作∠FAD的平分线，也可在CD上找中点G再连接AG，效果其实是相同的，然而又要和n产生关联，因此过点G作GH⊥AF，连接FG，如下图：

取CD中点G，连接AG，FG，过点G作GH⊥AF于点H，第一对全等三角形是△ADE≌△DAG，得到∠ADE=∠DAG，而∠FAD=2∠ADE，因此∠FAD=2∠DAG，即AG是角平分线，因此GD=GH，而G又是CD中点，因此进一步得到GH=CG，现在我们可得到第二对全等三角形△FGH≌△FGC，CF=HF=(1-n)x，观察∠DGH，其实它也被AG平分，因此AD=AH=x，所以可求得AF=(2-n)x，现在我们在Rt△ABF中用勾股定理列方程，AF²=AB² BF²，得到(2-n)²x²=x² n²x²，两边同除以x²，得到(2-n)²=1 n²，解得n=3/4.

解题反思

本题和我们在习题课中的十字模型略有区别，所以在完成作业过程中，不能生搬硬套，而避免的方法只有一个，就是真的理解了课堂上讲的模型方法。

由此带来更进一步的思考就是，经常遇到一讲就会，一做就错的同学，必然在课堂听讲上存在片面理解的情况，过于注重结果，喜欢凡事先“对答案”，很容易陷入只要答案对，其余都无所谓的恶性循环，治本的方法就是端正态度，以认真的心态对待每一次课，每一道题。

*雪浪纸