在上篇文章中，我向大家展示了为什么所有的无限循环小数都可以用分数表示，以及如何将无限循环小数转化为分数。

这篇文章，我们继续介绍无限不循环小数与无理数之间的关系。

我们知道，无理数都是无限不循环小数，那么为什么是这样呢？

古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物都可以用整数或者整数之比表示。

整数之比按照现在的数学语言，相当于分数。按照毕达哥拉斯的观点，数只有整数和整数之比(分数)这两种。

不过，后来毕达哥拉斯发现了勾股定理，他的这个观点很快就迎来了质疑。

二、古希腊人眼中的勾股定理

平时我们对勾股定律的描述是，直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。不过古希腊人陈述勾股定理用的却是几何术语而不是数，描述方式如下：

建立在两个较小边上的正方形的面积之和等于建立在最长边（斜边，即直角所对的边）上的正方形的面积。

几何图形描述如下：

正方形ABFG面积 正方形ACKH面积=正方形BCED面积（AB*AB AC*AC=BC*BC）

虽然勾股定理是毕达哥拉斯发现的，但是他没有留下勾股定理的证明资料，今天我们能够看到最早关于勾股定理的证明方法，是欧几里得在《几何原本》“第1卷 平面几何基础” 命题47中给予的证明，他是通过在上图的基础上添加辅助线来证明的。这里再多说一句，勾股定理的严格证明，其实很难。欧几里得为了证明勾股定理，在《几何原本》中足足引用了3条定义、4条公设、5条公理以及用到提前已经证明好的25个命题的结论，才完成了勾股定理的证明。

三、无理数的发现过程

勾股定理被毕达哥拉斯发现之后，毕达哥拉斯学派成员里就有人提出了一个问题：

如果有一个边长是一个单位长的正方形，以及最长边上面积是这个正方形面积2倍的另一个正方形，那么另一个正方形的边与这个正方形的边的比是多少？

这个时候我们还是引用上面那个图简单分析一下这个问题，首先我们先画出这个问题的图形出来，如下图所示：

假设正方形ABFG面积为a*a，最长边上正方形面积为2a*a，那么BC边与AB边长度的比是多少？

我们来分析一下这个问题，毕达哥拉斯不是提出“万物都可以用整数或者整数之比表示”，首先我们可以很快排除BC边的长为整数：

如果我们假设a=1，那么AB=1，BC*BC=2。我们知道，没有哪个整数的平方是等于2的，因为1*1=1、2*2=4，1和2之间没有整数，这样我们就可以排除BC边的长为整数。

即然BC边的长不是整数，那按照毕达哥拉斯“万物都可以用整数或者整数之比表示”的说法，BC边就只可能表示为两个整数的比。

这时候，就有人提出了一个推理过程：

假设BC的长可以表示为2个整数的比，并且这2个整数没有除了单位1之外的公因子（如果2个整数之间有除了单位1以外的公因子，我们可以约分掉公因子变成最简形式，也就是2个整数没有除了单位1之外的公因子），这2个整数我们命名为b和a，且b的平方正好是a的平方的2倍(b*b=2a*a)，这时b就相当于图上BC边的长，a就相当于图上AB边的长度。

这时我们就能得出一个结论：b*b一定是偶数，且是4的倍数。那么为什么呢？下面我们给予证明：

我们已经假设a、b是整数，b*b=2a*a，那么b*b肯定是偶数。又b*b是两个相同的整数相乘，且还是偶数，那么b*b最小数值是4。（整数中最小的数值是1、第二小的是2,而1*1=1是奇数与b*b是偶数不符，2*2=4与b*b是偶数符合，所以b*b的最小数值是4），这时我们就能得出b*b是4的倍数。

这时我们再画一个图形，如下图所示，取BC中点H,以BH为边作一个正方形BHOI。在这里我们设BH的长度为c，那么BC=2BH,也就是b=2c。

BC边长=b,BH边长=c，b=2c

上面我们已经证明了b*b是4的倍数，那么b肯定是偶数。又b=2c,b是偶数，那么c肯定是一个整数。

接下来我们继续

因为b=2c,那么b*b=2c*2c=4c*c

又因为b*b=2a*a，所以a*a=2c*c

之前我们通过b*b=2a*a证明了b*b的值是4的倍数，同理我们也可以通过a*a=2c*c得出a*a的值也是4的倍数。

接下来就是见证奇迹的时候了：

因为b*b与a*a都是4的倍数，那么b和a肯定都是偶数，那么b和a之间肯定有公因子2。

那么问题就来了，b和a有公因子2，与我们开始的假设＂b与a之间没有除了1以外的公因子＂矛盾。而b和a之间有公因子2，我们是依据假设和勾股定理推倒出来的。这就只能说明一个问题，要么是假设错了、要么就是勾股定理是错的，还有就是假设和勾股定理都是错的。

既然毕达哥拉斯已经证明了勾股定理是对的，那么就只有一种可能，假设错了，也就是BC边的长无法用2个整数的比表示。加上之前我们证明了BC边的长不是整数，这时我们又可以得出结论：毕达哥拉斯有关＂万物都可以用整数或者整数之比表示＂的结论是错的。你看，BC的边长就既不是整数，也不能用整数之比来表示。

类似BC的长度这类无法用整数和整数之比来表示的数，后来人们把这类数称为＂无理性的数＂，也就是无理数。

我们知道所有的数用小数来区分，只有两种:无限循环小数与无限不循环小数。在上篇文章中，我们已经证明了所有的无限循环小数都可以用分数(整数之比)表示，而无理数无法用整数之比(分数)表示，所以无理数只可能是无限不循环小数。

在上高中的时候，我们都学过等比数列的求和公式：