若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)

如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（10）　　则log（a）（b）=log（n^x）(n^y)　　

根据对数的基本公式　　log(a）(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a)M　　

易得　　log(n^x)(n^y)=y/x　　

由a=n^x,b=n^y，可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)　　，则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)　　

得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)　　例子：log(a)(c)*log(c)(a)=log(c)

解换底公式为：

loga（b）=logc（b）/logc（a）（c＞0，c≠1）

推导过程

令loga（b）=t................................(1)

即a^t=b

两边取以c（c＞0，c≠1）的对数

即logc（a^t）=logc（b）

即 t logc（a）=logc（b）

故由a≠1，即 logc（a）≠0

即t=logc（b）/ logc（a）..............(2)

由（1）与（2）知

loga（b）=logc（b）/logc（a）。

如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。