第四章 几何图形初步

第三节 角

【学习目标】

1．掌握角的概念及角的几种表示方法，并能进行角度的互换；

2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；

3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；

4. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；

5．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．

【要点梳理】

知识点一、角的概念

1．角的定义：

（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．

要点诠释：

（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．

（2）平角与周角：射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．

2. 角的画法

（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角；

（2）用量角器可以画出任意给定度数的角；

（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．

3. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示

知识点二、角的比较与运算

1. 角度制及其换算

角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．

1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．

要点诠释：

在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．

2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．

方法1：度量比较法． 方法2：叠合比较法

3. 角的和、差关系

要点诠释：

(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．

(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．

4. 角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．

要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．

知识点三、余角和补角

1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．

类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．

要点诠释：

(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．

(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°．

知识点四、方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．

要点诠释：

（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；

（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；

（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向。