三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人(主持人知道答案)开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？

这是一个很有趣的题目，对于没有条件概率知识的人来说，很多人的第一想法是一半一半啊，虽然一开始是1/3，但是后来不是只剩两扇门了吗，自然就是1/2了呀。

其实，这个题目不用概率知识来解释也很好解释，我们知道，一开始参赛者选择中奖的概率是1/3，那么不中奖的概率就是2/3，后面发生的事情就是主持人打开一扇门后问他换还是不换？如果我们从另一个角度考虑问题：如果参赛者不换，则表示他坚持自己第一次选择时正确的，那么他的中奖概率还是1/3；如果参赛者换，那么表示参赛者承认自己之前的选择时错误的，那么之前错误的（不中奖）概率是2/3，而剩下的门里没有车的门已经被排除了，所以换了后中奖的概率就是2/3。这样就可以得到答案，换，而且换了以后，概率可以提升到2/3，而不是第一映像中的1/2。

那么，我们怎么用概率的知识来思考这个问题呢？

我们一般接触到的实际问题都是先验概率，很多事情都是相对独立事件，即一件事的发生不会影响另一件事的概率；但是这个三门问题，却是一道条件概率问题。即后发生的事件会对之前的事件产生影响，从而影响之前事件概率。

条件概率：事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。若只有两个事件A，B，那么，

我们假定选择其中一门中奖定为事件A，B，C，那么我可以知道P(A)=P(B)=P(C)=1/3；

假定主持人打开门定为事件a,b,c；

可以把题目改为这样，参赛者选择了A门，主持人打开了c,问此时，参赛者不换继续选A且中奖的概率是多少，换，选B且中奖的概率是多少？用式子表示就是，求此时的P(A|c)和P(B|c)分别是多少？

根据条件概率公式我们有

P(A|c)=P(Ac)/P(c)=P(A)*P(c|A)/P(c)；

P(B|c)=P(Bc)/P(c)=P(B)*P(c|B)/P(c)。

P(A)=P(B)=P(C)=1/3,

当参赛者选择A门且A中奖时，主持人打开c的概率是1/2，所以P(c|A)=1/2；

当参赛者选择A门且B中奖时，主持人打开c的概率是1，所以P(c|B)=1；

当参赛者选择A门且C中奖时，主持人打开c的概率是0，所以P(c|C)=0。

那么P(c)= P(A)*P(c|A) P(B)*P(c|B) P(C)* P(c|C)=1/3*1/2 1/3*1 1/3*0=1/2。

所以

P(A|c)=P(A)*P(c|A)/P(c)=(1/3*1/2)/(1/2)=1/3，

P(B|c)=P(B)*P(c|B)/P(c)=(1/3*1)/(1/2)=2/3。

也就是说当主持人在打开门c后，对于A来说，其本身的概率是没变的，还是原来的1/3，改变的是事件B的概率，即P(B|c)是2/3。因此，此时参赛者应该换门，因为剩下的另一道门的概率变为了2/3，这样获奖概率变为了原来的两倍。

现实中的知识就是这样，很多时候和我们的直觉是不一样的，而且差距还不小。因此需要我们不断的锻炼自己的思维和数学能力，这样才能在一些决断中保持理性而科学的头脑，不至于错过大奖。

这种判断差距大的问题还有不少，这里再给大家一个：

有两个瓶子，一个装有3个篮球和7个红球，一个装有7个篮球和3个红球；从其中一个瓶子中随机抽取12个球（抽出后又放回瓶子），结果抽取了8个红球和4个篮球。问这些球从第一个瓶子抽取的概率是多少？四选一：

A 70% B 97% C 50% D 30%

说出你的答案和理由吧？