然而，爱因斯坦还是缺了一块拼图板∶他发现了正确的物理原理，但是他缺乏严格而强有力的数学表述来表达这个原理，他的引力场缺乏法拉第场的形式。鲜明对比的是，黎曼有了数学方法，但没有指导性的物理原理。

因为爱因斯坦是在不知道黎曼工作的情况下表述这一物理原理的，所以他没有用数学的语言来表述他的原理。从1912年到1915年，爱因斯坦用了3年时光，奋力研究一种足以表达他的原理的强有力的数学表述。爱因斯坦寻求他的数学家密友格罗斯曼的帮助。幸运的是，格罗斯曼偶然发现了黎曼的著作。格罗斯曼给爱因斯坦看了黎曼的研究和黎曼度规张量。

使爱因斯坦震惊的是，他发现黎曼1854年关于“几何基础”的著名演讲是解决问题的关键。他发现自己能用黎曼的理论重新表述他的原理。对黎曼1854年演讲重新作出的物理解释，现在称为广义相对论，而爱因斯坦的场方程则属科学史上最深刻的思想之一。

黎曼的伟大贡献是他引入了度规张量的概念，一种定义在空间各点的场。度规张量不是一个单一的数字。在空间的每一点，度规张量都是由10个数字组成的数组。爱因斯坦的想法是跟从麦克斯韦的思想，建立引力场理论。他寻找一种场来描述引力，这一目标实际上在黎曼演讲的第一页上就可以找到。事实上，黎曼度规张量就是描述引力的法拉第场。

回顾一下，我们现在看到在爱因斯坦之前60年，黎曼是多么接近于发现了引力理论。整个的数学方法在1854年已经足够了。黎曼的方程完全有能力描述任意维中最复杂的时空扭曲。然而，他缺乏物理绘景（质能决定时空曲率），也缺乏爱因斯坦所具有的深刻的物理洞察力。

生活在超球面（四维球面）提供的弯曲空间，如果我们朝前看，光将绕超球面的小圆周完整地转一周，回到我们的眼中。于是我们将看到，某人背对着我们站在我们的前面，穿着与我们一样的衣服。

这个人是一个由镜子产生的假象吗？为了查明此事，我们伸出自己的手，放在此人的肩上。我们发现，在我们前面的这个人是一个真正的人而不是假象。事实上，如果我们向远处看，我们会看见无数完全相同的人，每个人都面向前面，每一个人的手都放在他前面那个人的肩上。

最使人感到震惊的是，我们感觉到某人的手从后面悄然伸来抓住我们的肩膀。使人惊骇的是，当我们向后看时，我们看到身后也有无数完全相同的人，他们也把脸转到了另一边。

在我们前面的人，其实就是我们自己。我们在叮着我们自己的后脑勺。把我们的手放在我们前面，我们实际上是把我们的手绕着超球面伸出去，直到把它放到我们自己的肩上。

超球面中可能发生的违背直觉的事情，在物理学上是很有趣的。因为，许多宇宙学家认为我们宇宙实际上是一个巨大的超球面。还存在着另一些同样奇特的拓扑结构，如超环面和默比乌斯带。虽然它们最终可能没有实际应用，却有助于阐明生活在超维空间中的许多特征。

例如，让我们假设我们正生活在超环面上。如果我们向左右观看，我们将大为惊讶地看到，在我们的左右都各有一个人。光环绕着较大的环面圆周整整一周，重新回到它的出发点。因此，如果我们扭转脑袋向左看，我们就会看到某人身体的右边。把我们的脑袋转向右边，我们看到某人身休的左边。无论我们的脑袋转得有多快，在我们前面和我们两边的人的脑袋正好也转得这么快，以至于我们从来不能看到他的脸。

现在设想把我们的胳膊伸向两边。在我们左右两边的人也将伸出他们的胳膊。事实上，如果你靠得很近，你就能拉住左边那个人的右手和右边那个人的左手。如果你仔细地看着任何一个方向，你能看到一条无穷长的手拉手的人的直线。如果你朝前看，就会有另一条在你前面的人组成的无穷序列，他们排成一条直线，全都手拉着手。

实际上发生了什么呢？实际上是我们的胳膊很长，从而可以绕过环面，直到胳膊与胳膊相互触及。因此，我们实际上是握住了自己的手。

对于更加奇特的宇宙而言，设想住在一个默比乌斯带上。当一个右撇子二维人绕默比乌斯带走完整整一周时，他发现自己变成了左撇子。

如果我们住在超默比乌斯带上，眼睛盯着前方，我们将看到某人的后脑勺。首先，我们不会想到它会是自己的脑袋，因为我们部分头发的方位已经改变了。如果我们伸出右手并且放在他的肩膀上，那么他将抬起左手并放到他前面那个人的肩上。事实上，我们能看到一个接一个的无穷长的人链，而且在这个人链中每人都把他的手放在别人的肩上，只是这只手交替地从左肩换到了右肩。

如果我们在某处离开我们的一些朋友，绕这个宇宙完整地走一圈，我们将发现自己回到了原处。但是我们的朋友却震惊了，他们发现我们的身体左右倒置了。我们头上的部分头发和手指上的戒指到了相反的一边，我们的内脏器官被倒转过来。我们的朋友对我们身体的倒转大为惊讶，他们问我们感觉是否良好。事实上，我们的感觉完全正常，对于我们而言，是我们的朋友完全倒转了。

当我们居住在空间和时间被弯曲的宇宙中时，就存在着这些有趣的可能性。空间不再是被动的舞台，它变成了在我们的宇宙中上演戏剧的主动表演者。

爱因斯坦在几个方面超越了黎曼。像黎曼一样，爱因斯坦独立地意识到“力”是几何学的结果，但与黎曼不同的是，爱因斯坦能找到隐藏在这种几何学背后的物理原理，即时空的曲率由质能的存在而引起。爱因斯坦也像黎曼一样，知道引力可用某种场来描述，这种场就是度规张量，但是爱因斯坦能找出这些场遵守的精确的场方程。

20年代中叶，随着狭义相对论和广义相对论的建立，爱因斯坦在科学史中的地位得到了确立。1921年，天文学家已经证明光线在经过太阳传播时确实弯曲，这与爱因斯坦的预言完全一致。到那时，爱因斯坦已被赞誉为牛顿的继承人。

然而，爱因斯坦仍然不满足。他企图再拼搏一次，再创一个世界级的理论。但是在他的第三次努力中，他失败了。他的第三个也是最后一个理论，将是在他一生中登峰造极的成就。他在寻找“万物至理”，这个理论将解释自然界中的所有的力，其中包括光和引力。他把这个理论称为统一场论。

具有讽刺意味的是，爱因斯坦遭受挫折的根源，在于他的方程本身的结构。30年来，他被这一表述中一个基本的缺陷所困扰。方程的一边是时空曲率，他把它比作"大理石"，这是因为它有一种美丽的几何结构。对于爱因斯坦而言，时空曲率像是古希腊建筑的缩影，美丽而宁静。然而，他很不喜欢这个方程描述质能的另一边，他认为另一边是丑的，他把它比作“木头”。在20年代和30年代，当爱因斯坦积极从事统一场论研究工作的时候，物质的真正本性却还是一个未解之谜。

爱因斯坦的宏伟目标是把木头转化成大理石，即给物质一种完全是几何学的定义。我们知道，自然定律在高维中得到简化和统一。爱因斯坦正确地把这个原理使用了两次，一次是狭义相对论，另一次是广义相对论。然而，在他的第三次努力中，他抛弃了这个基本原理。在他的时代，对原子和原子核物质的结构知之甚微；结果就不清楚怎么将高维空间用来作为一种统一的原理。

下一步留给了一位默默无闻的数学家，它将我们引向第五维。

1919年4月，爱因斯坦收到一封信，这封信使他惊讶得说不出话来。

这封信来自德国哥尼斯堡大学，作者是一个不知名的数学家卡鲁查（Theodr Kaluza）。在这篇只有几页长的短文中，这位默默无闻的数学家正在提出解决本世纪最大难题之一的方案。在短短的几行中，卡鲁查正在通过引入第五维（即四个空间维和一个时间维）以统一爱因斯坦的引力理论和麦克斯韦的光理论。

像黎曼一样，卡鲁查假定光是由这高维的起伏所引起的扰动。黎曼、欣顿以及策耳纳的主要区别在于，卡鲁查正在提出一种真正的场理论。

在这封短信中，卡鲁查先在五维中相当简洁地写出爱因斯坦对引力建立的场方程。接着，他着手证明这些五维方程包含了爱因斯坦早期的四维理论和另一个附加部分。但是，使爱因斯坦震惊的是，这个附加部分恰恰就是麦克斯韦的光理论。换句话说，这位不知名的科学家正在一鼓作气地提出把科学上已知最伟大的两种场论（爱因斯坦的场理论和麦克斯韦的场理论）结合起来，即把它们混合在第五维中。这是一种纯几何理论。

从数学角度讲，光和引力也像油和水一般。麦克斯韦的光场理论需要4个场方程，而爱因斯坦的引力度规理论却需要10个场方程。卡鲁查的论文如此优美和有力，使得爱因斯坦不可能拒绝它。

乍一看，它好像只是一种数学上的雕虫小技，只是简单地把空间和时间的维数从四拓展到五。使爱因斯坦震惊的是，只要将五维场论分解成四维场论，麦克斯韦方程和爱因斯坦方程便依然成立。换句话说，卡鲁查成功地把两块拼图板拼接起来，因为它们都是一个大的整体的组成部分，这个整体就是五维空间。

为了理解卡鲁查的技巧，现在让我们看看五维中的黎曼理论。这时度规张量可以排列成一个5×5的棋盘。现在按照定义，我们将重新命名克莱因的场分量，从而使得其中的一些分量成为爱因斯坦最初的场，另一部分则成为麦克斯韦的场。这是卡鲁查技巧的本质所在。通过简单地把麦克斯韦场加到爱因斯坦场中，卡鲁查能把这两者重新组合成一个五维的场。

请注意，在黎曼五维引力的15个分量中，有足够的地方来安置爱因斯坦场的10个分量和麦克斯韦场的4个分量。这样卡鲁查的光辉思想就可以粗略地概括为∶