华罗庚是世界知名的数学家，他在数学方面的卓越成就，简述如下：

1.指数和估计及堆垒素数论。

命q为整数＞1，f（x）=akxk＋.＋a1x为整系数多项式满足（ak，.，a1，q）=1（即互素）。记Sqfefxqexexq(,)(()),()===.12pix华罗庚在1940年证明了：对于任何ε＞0皆有|(,)|(,)Sqfckqk≤ee11- 其中c（k，ε）为仅依赖于k与ε的常数。这一结果是臻于至善的。它是C.F.高斯（Gauss）和与高斯定理的推广：|(,)|Sqxq22≤．关于指数和的积分平均，华罗庚证明了：对于任意ε＞0，当1≤j≤k时有01122ò.=- eafxdackNxNjjj(())(,)≤．ee由这两条重要定理及维诺格拉多夫关于H.外尔（Weyl）和的估计及他关于素变数三角和的估计，华罗庚研究了方程N=f1(x1) . fi(xi)的可解性问题，此处fi（x）（1≤i≤s）为s个k次首项系数为正的整值多项式，N为给定正整数。特别当fi（x）=xk时，就得到著名的华林问题。若在方程中限制xi取素数，fi（x）=x及s=2，3，即得著名的哥德巴赫猜想。对于华林问题，首先是希尔伯特于190O年证明了，存在c（k），当s≥c（k）时，（3）有解。当N充分大时，最小的s记为G（k）以后，哈代与利特尔伍德用他们的“圆法”对G（k）作了定量估计。维诺格拉多夫则大大地改进了G（k）的估计，他还证明了“三素数定理”，即充分大的奇数都是三个素数之和。华罗庚将华林问题的重要结果基本上推广到上述方程的情况，而且限制变数为素数，自然包括“三素数定理”作为特例。他的成果总结在他的专著《堆垒素数论》之中。这本书已成为经典著作。

解析数论最上乘的工作之一是有一个纯分析的不等式（这称为方法），并附有这一不等式的重要应用。华罗庚的工作就是这样的。

在华罗庚领导的堆垒素数论中心问题哥德巴赫猜想讨论班上，王元、潘承洞与陈景润相继对筛法、大筛法应用及哥德巴赫猜想的结果作出改进。陈景润于1966年证明了：每一充分大的偶数都是一个素数与一个不超过两个素数之积之和。

2.体论。

若一个环k，其每一元素关于乘法都有逆元素，但对乘法来说是非交换的，则k称为体。命σ是体k到它自身的一个一一映射。如果σ满足(a b)σ=aσ bσ,(aba)σ=aσbσaσ,1σ=1,则称σ为半自同构。熟知的半自同构的例子为自同构：（ab）σ=aσbσ，与反自同构：（ab）σ=bσaσ。问除此之外，还有无其他半自同构？华罗庚于1949年证明了：每一个半自同构或为自同构或为反自同构。

同年，华罗庚还给下面结果一个初等证明：体的每一个真正规子体均包含在它的中心之中（H.嘉当（Cartan）-R.D.布劳尔（Brauer）-华氏定理）。P.T.贝特曼（Bateman）用莎翁名著《罗米欧与朱丽叶》中的诗句“没有一口井那么深，也没有教堂门那么宽，像茂丘西奥的伤口一样致命呀！”来赞扬华罗庚的一些结果。

1950年，华罗庚还证明了体的乘法群的一个定理：体的乘法群不是亚阿贝尔群。

3.矩阵几何、自守函数、典型群论与多变数函数论。

华罗庚将这几个学科放在一起研究。他在这几方面的研究是密切相关的。将一个变数推广到多个变数往往无从下手，以矩阵为变元则为特殊的多变数问题。这时代数工具可能使用，一行一列的矩阵就是单变数，又可以借用单变数时的结果做背景，所以华罗庚研究的方法均重用矩阵运算，从而形成了具有自己特色的开拓性工作。

1935年，E.嘉当（Cartan）证明了，在解析映射下，只有6类不可约、齐性、有界对称域，其中两类是例外域，维数分别是与27，其余4类称为典型域。典型域可以看作普通复平面上的单位圆在高维空间的类似。其重要性有如单位圆之于复平面，其应用与影响又超过多复变函数论。

华罗庚给出了4类典型域的运动群的矩阵表示，算出S.伯格曼（Bergman）核，重新证明了3种类型的双曲空间的黎曼（Riemann）曲率都是非正的，从而推知其几何相当正规。这就导致华罗庚开拓了“矩阵几何学”这一领域。在矩阵几何中，空间的点是某类矩阵，其背景是典型域。华罗庚的目的在于在这些矩阵空间中推广复平面的几何基本定理——K.G.C冯•施陶特（vonStaudt）定理：每一个将复平面映射到自身的保持调和分隔不变的拓扑变换必为直射变换或反直射变换。例如对复数域上的对称矩阵空间，华罗庚证明了：一个连续的将对称矩阵映射为对称矩阵并保持算术距离不变的映射必为辛变换或反辛变换。