作者 | 吴文俊(研究员，中国科学院系统科学研究所，中国科学院院士)
来源 |《科学》（双月刊）2003年3月（55卷2期）
前篇：中国古算与实数系统（一）
关键词：实数系统位值制《九章算术》刘徽《九童算术注》
与古希腊欧几里得系统的形数脱节者不同，中国古代数学中形与数是从来形影不离的。线段总是赋有长度，平面与立体都赋有面积与体积。正是由于长度与其他各种量度所需进行的计算产生了有理数、小数以及实数系统。
从开方到无理数
《九章算术》(以下简称为《九章》)的第四章《少广》处理积幂方圆一类的问题，共24题。其中第12至16题是已知正方形的面积，求边长，相当于现代的开平方。第19至22题是已知正立方体的体积，求边长，相当于现代的开立方。其中开方的方法是“开方术”，术文如下：“开方术曰：置积为实，借一算，步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算，步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。”
术文中的“法”“实”“借”“步”“等”“除”等都是当时用的专门名词，术文中的“除”在古时相当于现代的“减法”，而非现代的“除法”。
在刘徽的《九章算术注》(以下简称为《刘注》)中，开(平)方的算法有着明确的几何背景。《刘注》不仅有法，而且有图，图中各区块还分别绘以朱、黄、青等不同彩色，并标注甲、乙等以示区别，如黄甲、黄乙、青幂等。
这些图都已遗失不存，但根据《刘注》，还可以推断出彩图的大致情况。
《九章·少广》题12中求，就是求面积为55225的正方形的边长。方法是依照十进位位值制，尽量从左下角割取最大的小正方形。首先边长应以百计，“百”相当于术文中的“等”，经过尝试(“议”)，可以割取边长为200的正方形，但边长不能取为300，于是在左下方割取边长200的正方形黄甲；再次以10计(“等”为10)，再作尝试，于是黄甲扩大为由黄甲 2朱幂 黄乙所成的正方形，其边长为230；再取“等”为1并经尝试，知若取235为边作正方形则原正方形适取尽。由此知黄甲、朱幂、青幂的边长为200，30，5，而所求边长即平方根为200 30 5=235。
上例中开方适尽，一般说来自然并非如此，但计算的原理是相同的。试以为例，从面积为20000的正方形左下角依次割取逐步增大的正方形，其边长依次为100，100 40=140与100 40 1=141，但此时仍有一余下的曲边形，其面积为20000-=119。
对于整数开方不尽的情形，《刘注》说：“术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之自乘当还原其积分，今不加借算而命分，则常微少，其加借算而命分，则又微多。其数不可得而定，故惟以面命之，为不失耳。”
《刘注》指出：旧法(即“术”)在开方不尽的情形，往往加上一分数(“命分”)作为平方根，用现代形式即为取a r/(2a)或a r/(2a 1)作为的值。此值虽与真值近似(“粗相近”)，但并不正确(“不可用也”)，其原因是平方根平方后应还原为原来的数值，而上述加分数后的值平方后不是偏多就是偏少，因而只能作为近似值。正因为如此，只能引进一种新类型的数，把真正的平方根定义为新型的数，称为“面”(“以面命之”)。《刘注》还以分数为例，说“譬犹以三除十，以其余为三分之一，而复其数可举”，这说明因开方需要而引进新类型的数叫“面”，和由于除法的完成而引进新类型的数“分数”，道理是一样的。
《九章》与《刘注》依据已知正方形面积求边长的几何问题，通过几何背景得出求边长的算法，称为“开(平)方术”。由此引进了一种与有理数不同的新型数“面”，相当于现代的一种(根式)无理数。这种引进既简单又自然，由于数与形的结合，根本上排除了数学危机出现的可能，这种东西方处理问题的不同思维方式与所起的后果，颇为耐人寻味，值得深思。
《刘注》所说“凡开积为方，方之自乘当还复其积分”，实质上相当于“面”这种新型无理数的定义，也相当于下面的公式
其中A是非负整数，但也可以是非负有理数。事实上，“开(平)方术”文中说：“若实有分者，通分内子为定实。及开之，讫，开其母报除。”又说：“若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，迄，令如母而一。”这相当于公式
在《刘注》其他部分，还有一些类似的公式。
开立方的情形与开平方相似，《九章》中相应的开立方术与开(平)方术类似，也是从求已知体积的正立方体的一边的问题出发，通过几何考虑而形成算法，但这种从几何到算法的过程并不简单。
问题是开四次方、五次方等等该怎么办，这时几何背景完全消失，如果说古代就有多维空间的概念是不可思议的，也决不可能是事实，但是在中国到了宋代，北宋贾宪(约11世纪)作出的开方作法本原图，与后代关于二项式系数的帕斯卡三角形实质上相同.贾宪据此给出了开高次方的算法，显然他不是从几何考虑得出这种算法，而是从开平方术与开立方术的算法得出，其过程不得而知，但其思维之深邃与技巧之精微又不能不令人心折。
无穷小数的引进
对开平立方而言，刘徽并未止步于引进“面”，而进一步发展了一种意义重大的创新，考虑另一种方法：“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”
仍以20000开平方为例，=141 所余微数。过去到此为止，但刘徽进一步指出，由中国的十进位位值制记数法，也能将上述运算继续进行，取“等”为1/10，1/100，等等，求得所割正方形边长将为141 4/10，141 4/10 1/100，这一过程可无限制地进行下去，而且所弃去的“微数”将愈来愈小，以至于可以忽略不计(“不足言之也”)。用现代语言来说，这一新型的数“面”是某一数列的极限。
=极限(141，141.4，141.41，··)。
由此刘徽不仅引进了小数，还通过极限过程引进了无穷小数，并用于圆周率π的具体计算。《九章·方田》章涉及的是田亩面积的计算，《刘注》详细说明了其中应用的“圆田术”的原理与方法，还包含了π的计算。
在已知圆半径的条件下，刘徽从圆内接正六边形(“六觚”)出发，逐步求得内接正十二边形、正二十四边形至正一百九十二边形周长的小数近似值，以及正九十六边形与正一百九十二边形的面积近似值。在注文中的“割六觚以为十二觚术”，以至“割四十八觚以为九十六觚术”中有详细的计算说明。
在上述计算中应用了勾股定理，而且这一计算过程随着边数逐次加倍可以无限制地进行下去。刘徽特别指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”换言之，若以A表示圆的面积，以An表示圆内接正n边形的面积，则
A-A6,A-A12，A-A24，…
将无限制地减少，以至于可以略去不计(“而无所失矣")。用现代的语言来说，即是A-A3·2随着n的增加其极限为0，或A3·2随着n的增加其极限为A即圆的面积(“与圆合体”)。
这种极限概念与方法，不仅见于开方及圆周率的计算，还见于立体体积的计算。在《九章·商功》的“阳马术”中，即有：“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余者。”这也是一种极限过程。由此刘徽建立了中算中极为突出的体积理论，这是中国古算最为光辉的一页。
刘徽关于小数的引入，得力于中国上古的位值制十进位记数法。如果用现代的记法，则他所定义的实数是一种无穷小数
其中，9或0，位值则为。它是单调增或减序列,,…,的极限值。
魏尔斯特拉斯用有理数的单调增或减的序列来定义实数，与刘徽的方法颇为类似。但两者比较，前者的定义是一般的、抽象的，而刘徽的定义方法则是特殊的、具体的。因此，实数的种种法则：实数的等价或等值、实数运算规律、实数的完备性等，在魏尔斯特拉斯意义下的证明不无烦琐，但在刘徽意义下(包括有理数相当于循环小数)证明起来要直截了当得多。顺便一提，刘徽这种实数的具体表示方法，曾被康托尔用以证明实数集不能与可数集等价，仅此一端，即可知该方法蕴藏着其他方法难以比拟的威力。
根据以上所述，可以得出结论：早在公元263年时，刘徽即已通过十进制小数以及极限过程完成了现代意义下的实数系统。
最后必须指出，最早了解《九章》中所谓“以面命之”意指定义某种无理数并称为“面”的是李继闵，他并指出了《九章》与《刘注》中有着许多这种无理数“面”的计算方法与一般法则。
参考文献
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(本文为作者据2002年北京国际数学家大会上的公众报告整理)
