▲ 极坐标与直角坐标之间的关系，图自维基

如果你不用 x 轴和 y 轴，而是用实轴和虚轴，你也可以做同样的事情，只不过这次角度 θ 可以带你在实平面与虚平面之间转换。

▲ 欧拉公式，图自维基

令人惊奇的是，如果我们在实轴上定位到 -1 的位置，我们会得到一个漂亮的恒等式：

就是这样：e、i 和 π 之间有一种简单而又出人意料的关系。证明如下：

这些关系在复变分析中经常出现。但是，如果你愿意考虑指数，最后一个事实是非常了不起的。

i 的 i 次方是 100% 的实数。考虑上图中的方程（欧拉公式）——但我们不是在实轴上指向(-1)而是在虚轴上指向 i。在这种情况下，我们会得到一个等式：