从我们接触数学开始，就会遇到各种各样的数，从自然数开始，我们逐渐学习了整数、分数、负数、有理数、实数。到初中结束也就到此为止了，那有没有除了实数以外的数呢？与“实”字相对应，以后我们会接触到一种叫“虚数”的数，实数与虚数统称为复数。

那什么是虚数？

01 从认识数开始

在认识虚数之前，我们先来说说什么叫数？

1和a有什么区别？对于数，我们会有各种运算，比如1 2=3、2×3=6，但是对于字母，我们得不到像a b=c或xy=z这样的结果。

简单说，数是具有运算功能的符号！

如果没有运算，1和a除了长得不一样，其他并没有区别，所以数存在的开始就有了运算，学习数的过程也是学习运算的过程。

02 初识有理数

我们从运算的角度来简单叙述一下数的发展史，我们最早认识的是自然数，什么叫自然数呢？其实就是来源于我们实际生产生活，比如说1张桌子有4条腿，这里的“1”和“4”，这次考试，张三第1，李四第2，王二毛第3，这里所出现的“1”、“2”、“3”,可以说自然数无处不在。

对任意两个自然数做加法，我们仍然会得到自然数，但是如果对两个自然数作减法呢？结果可就不一定了，比如：2-3=-1。现在我们都知道这叫作负数，但在很长时间里，负数却一直不被承认。

原因很简单，我们无法找到一个具体的事物来描述负数啊！

我们可以用1根手指、1个苹果等等来描述什么叫1，但什么叫-1呢？后来也有人提出可以用“亏损”或者“负债”这样的方式来描述负数，但总归不像自然数那么自然，并不能让所有人都接受。

其实可以换个角度来看，为什么一定要有找到一个具体的事物来对应呢？

数学源于生活但不是生活，数学是一门定好规则的符号游戏，只要符合我们预先设置的规则，就是合理的。所以我们不需要指出负数具体是什么，只要能说清其来源，并且适用于我们现有的运算体系且不会产生一些不可调和的矛盾，我们就可以承认其存在。

于是由于作减法可能会产生新的数，自然数不再满足我们对计算的要求，我们的数系便扩大到了整数，包括正整数、0、负整数。

那分数是怎么来的呢？有了上面的思路，这里就很显然了，对两个整数作乘法，结果一定还是个整数，但是对任意两个整数作除法呢？就会出现我们现在所谓的分数，所以整数并不能满足我们所有乘除法的运算，我们需要继续扩大数的范围。

以上的所有组成的大家庭我们称为有理数。有理数会具有这么一个性质：对任意两有理数作四则运算（除数不为0），结果一定还是有理数，这么个性质称为“封闭性”。这对数与计算而言，是个很重要的性质。

03 无理数的发现

最后，我们还有乘方和开方，乘方等同于乘法，不用多说，开方呢？

根号1等于1，根号4等于2，根号9等于3这些都是我们认识的数，也会有一些新面孔，比如说：根号2。

据说最早发现根号2的是毕达哥拉斯学派一个叫希帕索斯的年轻人，大约公元前400年（差不多在春秋战国时期），他发现，正方形边长为1时，对角线的长（即根号2）不是个有理数。

解释着一点很简单，根号2肯定不是个整数，没有整数的平方会等于2，同样也不会是个分数，因为分数的平方还是分数，那根号2是什么呢？在当时没有人能解释它的存在，犹如晴天霹雳，从根本上动摇了毕达哥拉斯学派万物皆数（他们所认识的数仅限于有理数）的理论，引发了第一次数学危机。

当然现在我们都知道根号2是无理数，对有理数作开方运算，结果可能并非有理数，所以如果将运算扩大到六则，则数的范围将继续扩大，有理数与无理数统称为实数。但并非所有的无理数都能通过有理数作开方所得，比如圆周率π，像这样的数我们归类为：超越数。不能表示为整系数方程根的数称为超越数。

其实实数会比我们所认识到的复杂很多。

很快我们发现，其实仅仅实数也还是不够的，在实数里我们可以对0和正数作开方运算，负数呢？

04 虚数不虚

根号-1是什么？

我们的第一反应通常是：这不存在的！