分式方程增根与无解的区别

学习分式方程时，很多同学认为增根和无解是一回事，导致解题过程中出现了错误。那么，增根和无解到底有何区别呢？结合两个具体例子，我们加以分析和理解。

例1、当k为何值时，分式方程有增根？

【分析】分式方程两边乘以x（x﹣1）去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x（x﹣1）＝0，求出x＝0或1，将x＝0或1代入整式方程即可求出k的值．

【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣1）得：6x＝x 2k﹣5（x﹣1）…

又∵分式方程有增根，

∴x（x﹣1）＝0，

解得：x＝0或1

当x＝1时，代入整式方程得：6×1＝1 2k﹣5（1﹣1），

解得：k＝2.5，

当x＝0时，代入整式方程得：6×0＝0 2k﹣5（0﹣1），

解得：k＝﹣2.5，

则当k＝2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．

【点评】：这类题只需两步，第一步去掉分母化成整式方程，化成整式方程就不要再去变形整理了，保持“原状”不动，第二步找到增根，代入求解即可。

例2、已知关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为（　　）

A．0 B．0或﹣8 C．﹣8 D．0或﹣8或﹣4

【分析】分式方程无解的条件是：（1）、分式方程有增根（2）、去分母后所得整式方程无解。

【解答】解：方程去分母得：（x﹣2）2﹣mx＝（x 2）（x﹣2），

根据增根的意义：当x＝﹣2时分母为0，方程无解，即m＝﹣8；

当x＝2时分母为0，方程无解，即m＝0

同时，我们进一步整理得：（4 m）x＝8，

当m＝﹣4时整式方程无解；

故选：D．

【点评】由此，我们不难看出，分式方程无解分两种情况：分式方程产生增根；整式方程本身无解。将分式方程化成整式方程后，一定进一步求解，找到整式方程无解的情况。

巩固练习：

1、（2018•潍坊）当m＝　 　时，解分式方程＝会出现增根．

2、关于x的分式方程﹣1＝有增根，请求出增根及此时m的值

3、关于x的分式方程﹣＝1 无解，则a的值是多少．