实用的倍数判别法
2018年7月25日星期三
我们都学过2、3、5的倍数的判别方法，大意是：如果一个自然数的个位数字是0、2、4、6、8，这个数是2的倍数；如果是0、5，这个数是5的倍数；如果一个自然数各个数位上的数字和是3的倍数，比如：7635的数字和是5＋3＋6＋7＝21，21是3的倍数，我们说这个自然数是3的倍数，比如：7635也是3的倍数。这些方法简单粗暴、快捷给力、深入人心！但您有没有想过以下问题：
为什么要学习倍数判别法？
为什么要了解倍数的特征？
除了2、3、5，还有大量的比如：4、6、7、8、9、10、11、12、13……的倍数有没有特点？有没有简便的判别方法？抑或它们的倍数还重要吗？
……
也许，您缺少的只是一些“发现问题”的好奇和习惯，您对本文的阅读完全可以就此打住。网络最核心的价值之一就是：成为我们获取学习资料的强大工具。基于上述问题，您完全可以百度到更深邃、更全面的知识。如果您嫌烦，可以搭便浏览本文，因为动笔前，我已搜索了大量的相关资料。本文也力图以个性的角度、浅白的语言展开介绍，希望对小朋友们有所帮助。
或许，您会说：以“因数与倍数”为工具，我们可以“深入了解自然数的特点和分类”（我在前文使用过这个说法），比如2的倍数的特点告诉我们自然数分为奇数和偶数，就像人分为男生和女生一样。的确如此，这是重要的理由，但我们还可以寻找其他的角度。
还是从“质数判断”谈起。质数只存在于个位数字是1、3、7、9的自然数当中（个位数2、5是个例外，其余都适用）。这个简洁明了的结论来源于2、5的倍数的特点，它帮我们排除了自然数家族中60%的数字，这有力地提升了计算机“刷新”最大质数的效率。但是，剩下的40%依旧令人生畏，必须寻找更多的方法。无穷的1%仍然是无穷，偶数与自然数一样多……这些在“无穷”的世界里，让人感到诧异的结论，就是困难所在！
继续以前文谈到的“397是不是质数”为例。想想老师教给我们的方法：用质数试除作判断。我们知道：100以内有25个质数，更进一步地，400以内有78个质数。相比前文给出的“最笨、最暴力”的用2～396无脑试除397的方法，用400以内的质数试除，大大缩小了范围。对于计算机，这也是一大喜讯，但是对于我们手算，依旧面临困难。多年前，曾经有个小朋友问我一个问题：质数表是怎样往下推的？我被他的问题惊讶了很久，我知道他只是想寻找轻松背下100以内质数表的方法。我只能回答：这是一个悬而未决的世界数学难题，你有这样的疑问，说明你比我小时候强！背诵100以内的质数表，到现在我都不熟练，更别说400以内的！“从挨个试除”到“用质数试除”，难道只是空欢喜一场？
第二步重要的改进是求397的平方根。什么是平方根？如果a×a=397，那么a＝？这个a的值，就叫做397的平方根。由于397≈400，20×20＝400，我们可以约略地说397的平方根是20（事实上是19.924858845171275139966259189487……）。因此，我们只需要用20以内的质数试除397就可以完整、简便、严密地说明397是不是质数了。如下：
397÷2＝198……1
397÷3＝132……1
397÷5＝79……2
397÷7＝56……5
397÷11＝36……1
397÷13＝30……7
397÷17＝23……6
397÷19＝20……17
所以，397是一个质数。
这是为什么呢？如果一个自然数n可以分解为：n＝a×b，根据乘法的规律我们知道：积不变，一个因数a越大，另一个因数b就会越小。当试除的质数a越来越大时，b会逐渐缩小；当b≤a时，您会发现接下来的试除已经重复了……如果小朋友们对此理解起来有困难，就让我们换一个角度：
100以内最大的质数是97，背下100以内的质数表，大约最大可以检测：97×97＝9409，准确一点是：98×98－1＝9603；
400以内最大的质数是397，背下400以内的质数表，大约最大可以检测：397×397＝157609，准确一点是：398×398－1＝158403；
……
（重要程度★★★★）
（如果您对此仍有迷惑，可以纸笔展开下面的例子：判断133是不是质数。由于11×11＝121，13×13＝169，121＜133＜169，所以您只需要用2、3、5、7、11做检测就够了）
对于使用计算机进行质数判断，此时似乎可以欢呼雀跃了。据我所知，同时囿于所知，质数的判断（或寻找）总是基于“已知质数表”E的，当找到新的质数时，将这个质数扩充到E中，再以新的E为基础，寻找更大的质数。如此反复无限，相得益彰。但距离这个问题的完全解决，仍然是遥遥无期。无穷大的平方根依旧是无穷大，“无穷”领域这样的结论总是让人抓狂。寻找最大质数注定是一场没有尽头的“马拉松”——哪怕是穷尽一个时期地球上所有的计算资源，也是如此。这就是“np难题”的特点。
话说回来，我们更关心小朋友们进行质数判断时，手动计算方法的改善。小学的教材似乎对自然数的上限做了限制：三级十二位，最大9999 9999 9999。但是用于质数判断的一般不会超过400，因为这时的要求是：熟练记住20以内的8个质数（2、3、5、7、11、13、17、19。20以内的质数最大检测20×20－1＝399）。即便如此，像判断397、391、389……这样的数依然很烦，对于一些小朋友而言，存在挑战！更好地战胜它们，需要方法上的革新。
聪明的您应该已经发现，前面判断397是不是质数的时候，以下3个算式是没有必要做的：
397÷2＝198……1
397÷3＝132……1
397÷5＝79……2
原因是：显然397是奇数，不是5的倍数，7＋9＋3＝19，也不是3的倍数。您是否已经感觉到：掌握这些直接、快速的“倍数判别法”，是这样的“实用”！如果我们能掌握更多的数的倍数判别法，是不是会更有效率呢？答案是：这真是一个不错的“idea”！就让我们以20以内的8个质数为初步的小目标吧！
一、末位判别法。判断2、5的倍数，用的就是这个方法。我本想起名为“个位判别法”，更加直截了当，但当我弄明白4的倍数的判断方法后，就不想改名了。虽然4＝2×2，可以用下面的“分解判别法”去做，即概括为“偶数的一半是偶数的话，就是4的倍数”，不过，更好的方法是取一个数的“末两位”进行判断。比如：387085494是4的倍数吗？我们只需要判断94÷4就可以了，它不是4的倍数。这个方法的原因是：100÷4＝25。这是我们的“老朋友”了，今天再来了解一下：任何整百数，都是4的倍数，一个数的整百部分，对于是否被4整除就不需要判断了。
同理可得（一直以来，我都感觉这四个字是证明题中最强大的字眼，哈哈），1000÷8＝125，8的倍数取“末三位”； 10000÷16＝625，16的倍数取“末四位”； 100000÷32＝3125，32的倍数取“末五位” ……怎么样？刷新眼球吧！
事实上，25、125、625、3125、15625……的倍数，除了继续判断个位是否为0、5之外，可以依次取末两位、末三位、末四位、末五位、末六位……进行判断。道理同上，您懂的。为了方便，您可以将这两串数字写成2和5的幂次方的形式。
二、数字求和法。判断3的倍数，用的就是这个方法。这个方法有两个地方很神奇：一是它可以迅速地将一个大数化小；二是这个方法可以迭代使用。比如：236586479687是不是3的倍数？第一次求数字和：7＋8＋6＋9＋7＋4＋6＋8＋5＋6＋3＋2＝71；第二次求数字和：1＋7＝8；由于8不是3的倍数，所以71不是3的倍数，236586479687不是3的倍数。
还有一组很有规律的数：9、99、999、9999……它们的倍数判别方法很有意思，除了9和3一样，仍旧使用数字求和法外，其余的应当将“数字求和法”的名称升级为“断开求和法”。
以A＝236586479687为例说明：
①判断是否99的倍数。从右（个位）往左，两位一组，断开求和得：87＋96＋47＋86＋65＋23＝404；再两位断开求和得：4＋4＝8；8不能被99整除，余数为8，故而A不是99的倍数；
②判断是否999的倍数。从右往左，三位一组，断开求和得：687＋479＋586＋236＝1988；再三位断开求和得：988＋1＝989；989不能被999整除，余数为989，故而A不是999的倍数；
③判断是否9999的倍数。从右往左，四位一组，断开求和得：9687＋8647＋2365＝20699；再四位断开求和得：699＋2＝701；701不能被9999整除，余数为701，故而A不是9999的倍数；
……
易得：判断n个9的倍数，就从右至左，n位一组，截断求和。
这些方法背后的道理，大抵同3的倍数的数字求和法原理，如下图，不再赘述。
人教版五数下册13页
需要补充的是：数字求和法相当于从右至左，一位一组的断开求和法，9的倍数的数字求和法还可以使用“弃9法”简化求和的过程；此处“断开”，位数均分，感兴趣的您还可以搜索一下“乱切法”，这些“狭窄”的方法，多出现于“小学奥数”，此处不再赘述。
三、奇偶位差法。这个方法是用来搞定11的倍数的。以108493为例说明。我们先从个位起，由低到高，对每个数位进行编号：个位第1位、十位第2位、百位第3位、千位第4位……于是就有了“奇位”与“偶位”的区分；接着将奇位上数字与偶位上数字分别求和，比如：S奇＝3＋4＋0＝7，S偶＝9＋8＋1＝18；然后作差，大减小，防止出现负数，该例S偶－S奇＝18－7＝11；最后判断，如果这个差是11的倍数，则原数是11的倍数，显然11是11的倍数，故而108493是11的倍数。如果遇到差为0，说明也是11的倍数。这个方法要经历：编号、求和、作差、判断4个小步骤，比较麻烦。熟练了，“编号”可以省略。
四、三位截断法。这个方法是用来搞定7和13的倍数的。以89768952为例说明。①三位截断并编号：从右至左，第1段952，第2段768，第3段89；②求奇段和与偶段和：S奇＝952＋89＝1041，S偶＝768；③大减小作差：1041－768＝273；④判断：如果差已小于4位数，就不再迭代①②步，直接判断。由于273÷7＝39，273÷13＝21，所以89768952既是7的倍数，又是13的倍数。
五、截尾倍加（减）验和（差）法。这是分别用来解决17、19的倍数的。以3876为例说明。①截尾：尾指最后一位，截去剩余387；②17的倍数将尾“5倍减”求差：387－6×5＝357；19的倍数将尾“2倍加”求和：387＋6×2＝399；③判断和（差）的大小，如果过大，继续执行①②步操作。17的倍数：357截尾5倍减，35－7×5＝0；19的倍数：399截尾2倍加，39＋9×2＝57；④验和（差）：0÷17＝0，57÷19＝3，所以，3876既是17的倍数，又是19的倍数。请注意：17的倍数判别法应为“截尾倍减验差法”，核心为“5倍减”；19的倍数判别法应为“截尾倍加验和法”，核心为“2倍加”。
六、分解判别法。这是用来对付合数的倍数的。比如：6＝2×3，6的倍数兼具2、3的倍数的特点；15＝3×5，15的倍数兼具3、5的倍数的特点；45＝5×9，45的倍数兼具5、9的倍数的特点……如此而已。值得声明的是：质数是自然数家族的“基石”！
至此，我们似乎有了“简便”的方法重新判断“397是不是质数”了，过程如下：
①判断2：末位判别法，个位是7，是奇数，排除2；
②判断3：数字求和法，7＋9＋3＝19，19不是3的倍数，排除3；
③判断5：末位判别法，个位数字非0、非5，排除5；
④判断7：三位截断法……哦，这个只有三位，只有一段，只能用除法了，嘻嘻……由于397÷7＝56……5，排除7；
⑤判断11：奇偶位差法，S奇＝7＋3＝10，S偶＝9，差＝10－9＝1，1不是11的倍数，所以397不是11的倍数，排除11；
⑥判断13：三位截断法……再次嘻嘻……由于397÷13＝30……7，排除13；
⑦判断17：截尾倍减验差法，39－7×5＝4，4不是17的倍数，排除17；
⑧判断19：截尾倍加验和法，39＋7×2＝53，由于53÷19＝2……15，排除19。
所以，397是质数。
讲到这里，就让我们大家情不自禁地“呵呵”吧，这些方法就是一个字：作（zuō）！它们永远取代不了“2、3、5的倍数判别法”在我们心中的地位：越是简单有效的，就越是有生命力的！恍惚间，我忽然觉得我是在做备份——防范头脑不正常时无据可查。标题中的“实用”，似乎应当加注引号。这些方法不仅难以记住，而且会使我们混乱。张冠李戴，在所难免。也许，新生的一代，胸怀宽广，眼界辽远，才能海纳百川。探寻习以为常的事物背后更多的秘密，将成为您崭新的视角。
再会。
（末了，借此文：我是很想写一些带有科普性质的小学数学文章的，但长期坚持的话，我的头条号说不定也会沦为“解题匠”的家园……不一定，不定期，走着瞧吧……）
