第十六章 二次根式

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：形如

的式子叫二次根式，其中

叫被开方数，只有当

是一个非负数时，

才有意义．

【典型例题】

题型一：二次根式的判定

【例1】下列各式1）

，

其中是二次根式的是_________（填序号）．

题型二：二次根式有意义

【例2】若式子

有意义，则x的取值范围是 ．

题型三：二次根式定义的运用

【例3】若y=

2009，则x y=

解题思路：式

子

（a≥0），

，y=2009，则x y=2014

题型四：二次根式的整数与小数部分

已知a是

整数部分，b是

的小数部分，求

的值。

若

的整数部分是a，小数部分是b，则

。

若

的整数部分为x，小数部分为y，求

的值.

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：

是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2.

．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：

3.

注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

4. 公式

与

的区别与联系

（1）

表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．

（2）

表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．

（3）

和

的运算结果都是非负的．

【典型例题】

题型一：二次根式的双重非负性

【例4】若

则

．

题型二：二次根式的性质2 （公式

的运用）

【例5】 化简：

的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

题型三：二次根式的性质3 （公式

的应用）

【例6】已知

,则化简

的结果是

A、

B、

C、

D、

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】

【例7】在根式1)

，最简二次根式是（ ）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

解题思路：掌握最简二次根式的条件。

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用

来确定，如：

，

，

与

等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如

与

，

，

分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例8】 把下列各式分母有理化

（1）

（2）

（3）

（4）

【例9】把下列各式分母有理化

（1）

（2）

（3）

（4）

【例10】把下列各式分母有理化：

（1）

（2）

（3）

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①

与

； ②

与

；

③

与

； ④

与

．

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

=

·

（a≥0，b≥0）

2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

·

＝

．（a≥0，b≥0）

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

=

（a≥0，b>0）

4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

=

（a≥0，b>0）

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

【典型例题】

【例11】化简

(1)

(2)

(3)

【例12】计算（1）

（2）

（3）

（4）

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

【典型例题】

【例13】计算

（1）

； （2）

；

【例14】 （1）

（2）

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】

1、确定运算顺序；

2、灵活运用运算定律；

3、正确使用乘法公式；

4、大多数分母有理化要及时；

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】

1、

2、 (2 4－3)

【例15】 1．已知：

，求

的值．

知识点八：根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法 当

时，①如果

，则

；②如果

，则

。

2、平方法 当

时，①如果

，则

；②如果

，则

。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①

；②

8、求商比较法

9、它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①

； ②

【典型例题】

【例16】 比较

与

的大小。（用两种方法解答）

【例17】比较

与

的大小。

一 元 二 次 方 程

一、知识结构：

一元二次方程

二、考点精析

考点一、概念

(1)定义：^①只含有一个未知数，并且^②未知数的最高次数是2，这样的^③整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A、

B、

C、

D、

变式：当k 时，关于x的方程

是一元二次方程。

例2、方程

是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知

的值为2，则

的值为 。

考点三、解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：

※※对于

，

等形式均适用直接开方法

典型例题：

例1、解方程：

=0;

例2、若

，则x的值为 。

类型二、因式分解法:

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如

，

，

典型例题：

例1、

的根为（ ）

A

B

C

D

例2、若

，则4x y的值为 。

例3、方程

的解为（ ）

A.

B.

C.

D.

例4、解方程：

例5、已知

,则

的值为 。

类型三、配方法

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。

典型例题：

例1、 试用配方法说明

的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式

的最小值。

例3、 已知

为实数，求

的值。

例4、 分解因式：

类型四、公式法

⑴条件：

⑵公式：

,

典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴

⑵

⑶

例2、在实数范围内分解因式：

（1）

；（2）

. ⑶

说明：①对于二次三项式

的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令

=0，求两根，再写成

=

.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、 “降次思想”的应用

⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

典型例题：

例1、 已知

，求代数式

的值。

例2、如果

，那么代数式

的值。

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.

考点四、根的判别式

根的判别式的作用：

①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

典型例题：

例1、若关于

的方程

有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

例2、关于x的方程

有实数根，则m的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

例3、已知关于x的方程

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰

ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求

ABC的周长。

例4、已知二次三项式

是一个完全平方式，试求

的值.

例5、

为何值时，方程组

有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

考点五、方程类问题中的“分类讨论”

典型例题：

例1、关于x的方程

⑴有两个实数根，则m为 ,⑵只有一个根，则m为 。

例2、 不解方程，判断关于x的方程

根的情况。

例3、 如果关于x的方程

及方程

均有实数根，问这两方程

是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

考点六、应用解答题

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；

⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题

考点七、根与系数的关系

⑴前提：对于

而言，当满足①

、②

时，

才能用韦达定理。⑵主要内容：

⑶应用：整体代入求值。典型例题：

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程

的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）

A.

B.3 C.6 D.

例2、已知关于x的方程

有两个不相等的实数根

，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知

，

，

，求

变式：若

，

，则

的值为 。

例5、已知

是方程

的两个根，那么

.

针对练习：

1、解方程组

2．已知

，

，求

的值。

3、已知

是方程

的两实数根，求

的值。