注意：上面两个公式，一个是值为0，一直均值为0的正太分布；而左边极为相似！

4、区别

（1）随机变量的分布

大数定律：揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。

中心极限定理：说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

（2）研究的内容不同

大数定律研究的是在什么条件下，这组数据依概率收敛于他们的均值。

中心极限定理研究的是在什么条件下，这些样本依分布收敛于正态分布。（卯诗松的概率论与数理统计上说）

（3）描述的问题不同

大数定律描述的是频率稳定性，就是我们所说的频率稳定在具体的一个数值，即为概率；

中心极限定理描述的是分布稳定性，指的是频率有很多，但是服从正态分布，XY轴中Y最高的那个正态分布数值即为概率。

（4）举个例子

大数定理是说样本足够大时，会接近期望，在样本无穷大时平均值是期望（一个值）。

中心极限定理说的是样本距离期望的涨跌偏差分布。（出现一种分布规律）

举个简单的例子，一滴水从高空落下，经过一个随机分布的风向后，落在地上。

大数定理指出，无论风向分布规律是什么，所有的点距离垂直落下的点的距离应该等于一个值，这个值就是期望。

中心极限定理指出，无论风向分布规律是什么，每个样本距离期望的位置的距离分布是符合正态分布的。

03

条件概率与贝叶斯公式

1.概率：度量某事发生几率的数量指标。

进一步理解：概率只是对事件发生可能性的一种表达，概率并非担保。

2.事件：有概率可言的一个结果或一件事。

计算公式：

，其中S称为概率空间，或样本空间。

3.概率的直观表现形式：

维恩图

概率树

4.对立事件: “A不发生”事件可以用A'表示。A'被称为A的对立事件。A'包含事件A所不包含的任何事件。P(A')=1-P(A)

5.互斥事件：事件A与事件B不同时发生。

6.相交事件：事件A与事件B会同时发生。

7.独立事件: 几个事件互相不影响。P(A|B)=P(A). 如果两个事件相互独立，则 P(A∩B)= P(A|B)P(B)=P(A)P(B)

8.穷举事件：表示两个事件的并为全集。

划重点

9.条件概率：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

10.全概率公式：根据条件概率计算一个特定事件的全概率。P(B)=P(A∩B) P(A'∩B)=P(A)* P(B|A) P(A')* P(B|A')

11.贝叶斯定理：提供了一种计算逆条件概率的方法，再无法预知每种概率的情况下，非常有用。

贝叶斯定理：已知P(A),P(B|A),P(B|A');求P(A|B).

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = P(A)*P(B|A) / P(A)* P(B|A) P(A')* P(B|A')

公式：P(A∪B)=P(A) P(B)-P(A∩B）

12.相关事件：如果 P(A|B)不等于P(A)，就说事件A与事件B的概率相互影响。

【贝叶斯定理例题解析—2020 Pdd学霸批笔试题】

设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是______．

【解析】

设事件：A={抽取的产品为A工厂生产的}；事件：B={抽取的产品是B工厂生产的}；事件：C={抽取的是次品}；显然有：
P（A）=0.6；P（B）=0.4
P（C|A）=0.01；P（C|B）=0.02；根据全概率公式有：
P（C）=P（A）P（C|A） P（B）P（C|B）
=0.6×0.01 0.4×0.02
=0.014．
P（AC）=P（A）P（C|A）
=0.6×0.01
=0.006
根据条件概率公式有：
P（A|C）=P(AC)/P(C)

=0.006÷0.014=3/7

答案为：3/7

04

正态分布与偏态分布

1.正态分布与偏态分布的概念

正态分布（normal distribution）

偏态分布（skewed distribution）

左偏态：left skewed distribution，负偏态（negatively skewed distribution），以尾部命名，左偏态或者叫负偏态的尾部，主要在左侧；

右偏态：right skewed distribution，正偏态（positively skewed distribution），同样地，右偏态或者叫正偏态的尾部，则集中在右侧；

2.众数、中位数以及均值的关系

正态分布还是偏态分布（左偏态/右偏态）在函数图像上容易分辨，在统计数据上，也很容易分别，比如正偏态分布（右偏），mean > median>mode，对于负偏态（左偏），mean< median<mode。

3.正态分布的数字特征