前几天，笔者写了一篇严格证明“1 1=2”的文章，引发了广大数学爱好者的激烈讨论。很多朋友都对证明1 1=2的必要性提出了质疑，认为数学家们很无聊，完全没有必要去证明这显而易见的结论。
今天我就对大家提出广泛质疑的几个问题一一进行解答。
首先我们再次回顾皮亚诺公理
皮亚诺公理定义自然数集N的五条公理如下：
（1）0是自然数；
（2）每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a'，a'也是自然数；
数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数。
定义0'=1，1'=2，2'=3，……
（3）0不是任何自然数的后继数；
（4）不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
（5）设集合S是自然数集N的子集，且满足两个条件
①0∈S，②如果n∈S，那么n'∈S
则S=N
问题一：什么叫公理？公理需要严格证明吗？
回答：所谓公理就是人们广泛接受公认的道理，公理是不需要进行证明的。
例如“两点之间直线距离最短”、“两直线平行，同位角相等”，这些就叫公理。大家都广泛地认可其正确性，是不需要进行证明的，也是证明不了的。
问题二：我们为什么要认可皮亚诺公理的体系？我们能够自创一种新的公理体系吗？
回答：我们认可皮亚诺公理体系的原因有3点
1.以上公理体系是由皮亚诺最先提出的；
2.此公理体系语言精练简洁，语义没有歧义；
3.此公理体系满足逻辑自洽。所谓逻辑自洽就是指该公理体系是符合逻辑性的，不是自相矛盾的。换句通俗一点的语言就是能够“自圆其说”。
另外，我们当然可以自创一个新的公理体系，只要你所创的体系能够满足以上3点并被大众广泛认可。
问题三：皮亚诺公理关于自然数集N的定义这5点具体是什么含义？
（1）0是自然数；
回答：第（1）点明确了0是一个自然数。
（2）每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a'，a'也是自然数；
数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数。
定义0'=1，1'=2，2'=3，……
回答：第（2）点告诉我们，每一个自然数的后继数也是自然数。0的后继数是自然数，0的后继数的后继数也是自然数，以此类推，每一个自然数都是由0的后继数衍生出来的。
（3）0不是任何自然数的后继数；
回答：第（3）点告诉我们，0是所有自然数的起点，这一点也奠定了0在所有自然数中具有特殊的地位。除了0以外，其他自然数都不具有特殊性，仅仅是0的后继数衍生出来的而已。
（4）不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
回答：第（4）点告诉我们不同自然数的后继数也不同，反过来，如果两个自然数的后继数相同，那么这两个自然数也相同。
这一点保证了自然数的后继数不可能形成闭环，也说明了自然数有无穷多个。
（5）设集合S是自然数集N的子集，且满足两个条件
①0∈S，②如果n∈S，那么n'∈S
则S=N
回答：第（5）点非常重要，公理（5）也叫归纳公理，这条公理保证了数学归纳法的正确性，其含义是指如果某个结论对a=0成立，再假设这个结论对a∈N成立，能够推出这个结论对a'也成立，则说明这个结论对所有a∈N都成立。
接下来我们再来回顾皮亚诺公理是如何定义加法运算法则的：
加法满足以下两种规则的运算：
（1）任意m∈N，0 m=m
（2）任意m，n∈N，n' m=(n m)'
问题四：皮亚诺公理关于加法运算的定义这2点具体是什么含义？
（1）任意m∈N，0 m=m
回答：第（1）点再次体现出0的特殊性，其含义是指“0加任何自然数都等于这个自然数本身”。
这里需要强调的是，定义只规定了0 m=m，并没有规定m 0=m
在还没有严格证明加法交换律之前，这两者是有本质区别的。
（2）任意m，n∈N，n' m=(n m)'
回答：第（2）点告诉我们，任何一个自然数的后继数加上另一个自然数都等于这两个自然数和的后继数。这一点将加法运算和后继数有机地结合了起来。
同样，这里并没有定义m n'=(m n)'，在具体运算的时候必须加以区分。
问题五：如何利用皮亚诺公理证明“1 1=2”？
回答：证明：1 1=2
根据公理（2）定义，0'=1，1 1=0' 1
根据加法法则（2），0' 1=(0 1)'
根据加法法则（1），0 1=1，(0 1)'=1'
再根据公理（2）定义，1'=2
也就是说，1 1=0' 1=(0 1)'=1'=2
所以1 1=2
证毕！
问题六：我们为什么必须要去证明“1 1=2”？
回答：因为皮亚诺公理的体系只是定义了自然数0，定义了0的后继数是1，1的后继数是2，定义了加法运算法则。但是，整个公理体系并没有定义“1 1=2”，凡是没有直接给出定义的结论都必须要进行严格证明。
问题七：我们证明“1 1=2”的本质意义是什么？
回答：证明“1 1=2”的本质是证明“0的后继数 0的后继数=0的后继数的后继数”。
你也可以定义0的后继数是a，a的后继数是b。那我们需要证明的就是“a a=b”了。
大家常见的疑问就先回答到这里，欢迎大家继续讨论。
最后，这篇文章是我近期所写文章中最耗脑力的一篇，为了保证把以上概念都阐述清楚，不产生歧义和逻辑漏洞，每一句话每一个字都反复斟酌。其实很多事情都是这样，往往最简单的底层逻辑却需要最深刻的理解去进行领会。希望大家都能从中有所收获。
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