2

开始证明之前，回顾一下我们对于加法的定义：

定义加法是满足以下两种规则的运算：

1. 对于任意自然数m，0 m = m

2. 对于任意自然数m和n，n' m = (n m)'

与大上周一样，

这次的证明也分

一，证明：

对自然数m，m 0=m

已知0 m=m但并不能由此直接得出m 0=m，我们还并不知道加法交换律。我们可以用数学归纳

∵0 m=m；0是自然数

∴0 0=0

现假定n 0=n

根据加法定义

n' 0=（n 0）'=n'

∴对任意自然数m，均有m 0=m

证毕

二，证明：

对任意自然数n和m，n m'=（n m）'

依然用数学归纳法

对n进行归纳，当n=0时

根据加法定义

0 m'=（0 m）'

假定n m'=（n m）'，

求证n' m'=（n' m）'

根据加法定义

n' m'=(n m')'=[（n m）']'

（n' m）'=[（n m）']'

∴n' m'=（n' m）'

证毕

三，证明：

对任意自然数n和m，n m=m n

对n进行归纳，

首先考虑当n=0时，

0 m=m，m 0=m

∴0 m=m 0成立，

假设n m=m n成立

求证：（n'） m=m （n'）

∵n m=m n

（假设）

∴（m n）‘=（n m）’

（皮亚诺公理4）

∵n‘ m=（n m）’

(加法定义)

m n‘=（m n）’

（证明2）

∴n‘ m=m n’

∴对任意自然数n、m，均有n m=m n

证毕

关注*夸克欧氏几何

Don't worry. Be happy!