一、平方根、算术平方根、立方根

【高频考点精讲】

1．平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．

（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．

一个正数a的正的平方根表示为“ ”，负的平方根表示为“﹣ ”．

2．算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．

记为 ．

（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

3．立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作： ．

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根。

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。

注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根。4．平方根和立方根的性质

（1）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

二、无理数定义及估算

【高频考点精讲】

1．无理数定义

（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．

（2）无理数与有理数的区别：

　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．

　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．

（3）常见三种类型

①开不尽的方根，如 等．

②特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．

③含有π的绝大部分数，如2π．

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如 是有理数，而不是无理数．

2．估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．

三、实数的运算

【高频考点精讲】

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．