学习目标　1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号．

导语

问一下同学们，大家最喜欢上什么课？(嗯，有同学说体育课)在体育课上，体育老师常说的一句话就是‘集合’，这个时候，同学们从四面八方集合到一起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词‘集合’，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子．

一、元素与集合的概念

问题1　看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？

(1)1～10之间的所有偶数；

(2)立德中学今年入学的全体高一学生；

(3)所有正方形；

(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；

(5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；

(6)地球上的四大洋．

提示　以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等．

知识梳理

1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c…表示；

2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示．

二、集合中元素的特征

问题2　问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？

提示　(1)都能构成集合．(2)①2,4,6,8,10；②立德中学今年入学的每一位高一学生；③正方形；④到直线l的距离等于定长d的点；⑤1,2；⑥太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋．

知识梳理

1．集合中元素的特征：确定的，互不相等的，无序的；

2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

注意点：

(1)集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关；

(2)利用集合相等求参时，已知元素是突破口．

例1　(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是(　　)

A．中国古代四大发明

B．周长为10 cm的三角形

C．方程x2＋2x＋1＝0的实数根

D．地球上的小河流

(2)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝Q，则a＝________.

答案　(1)ABC　(2)±2

解析　(1)在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；在B中周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合；在C中，方程x2＋2x＋1＝0的实数根为－1，能构成集合；在D中，地球上的较小河流不确定，因此不能构成集合．

(2)由题意得a2＝4，a＝±2.

延伸探究　若将(2)改为“若集合Q中含有两个元素1和a2，求a的取值范围．

解　由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1.

反思感悟　(1)判断一组对象能构成集合的条件

①能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素；

②任何两个对象都是不同的；

③对元素出现的顺序没有要求．

(2)判断两个集合相等的注意点

若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．

跟踪训练1　(1)下列说法中正确的是(　　)

A．与定点A，B等距离的点不能构成集合

B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5

C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形

D．高中学生中的游泳能手能构成集合

(2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝________.

答案　(1)C　(2)1

解析　(1)A不正确，与定点A，B等距离的点在AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由title中的字母构成的元素为t，i，l，e共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合．

(2)由题意知a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1.

三、元素和集合之间的关系

问题3　如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？

提示　是男生就去，不是男生就不去．

知识梳理

1．元素和集合之间的关系

2.常用数集及其记法

注意点：

(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写；

(2)0属于自然数集．

例2　(1)下列结论中，不正确的是(　　)

A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z

C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则a3∈R

(2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________ B,1＋________B．(用符号“∈”或“∉”填空)

答案　(1)A　(2)∉　∈

解析　(1)A中a＝0时，显然不成立．

(2)∵2＝>，∴2∉B，∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，∴1＋<，∴1＋∈B.

反思感悟　判断元素和集合关系的方法

直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可．

推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．

跟踪训练2　(1)用符号“∈”或“∉”填空：

0____N；－3____N；0.5____Z；____Z；____Q；π____R.

(2)已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A,2∈A，则实数a的取值范围为_________．

答案　(1)∈　∉　∉　∉　∈　∈　(2)－4<a≤－2

解析　(1)略．

(2)因为1∉A,2∈A，所以即－4<a≤－2.

1．知识清单：

(1)元素与集合的概念；

(2)集合中元素的特征；

(3)元素与集合的关系；

(4)常用数集的记法．

2．方法归纳：直接法，推理法．

3．常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素．

1．(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　)

A．接近于1的所有正整数

B．小于0的实数

C．(2 021,1)与(1,2 021)

D．未来世界的高科技产品

答案　BC

解析　A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中(2 021,1)与(1,2 021)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中未来世界的高科技产品不能构成一个集合．

2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是(　　)

A.∈M B. 0∉M C．1∈M D. －∈M

答案　D

解析　>1，故A错；－2<0<1，故B错；1∉M，故C错；－2<－<1，故D正确．

3．用符号“∈”或“∉”填空．设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____A，美国____A，印度____A，英国____A.

答案　∈　∉　∈　∉

4．设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则实数x＝____；y＝____.

答案　1　0

解析　由题意得或即或

又当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，所以x＝1，y＝0.

1．下面给出的四类对象中，构成集合的是(　　)

A．某班视力较好的同学 B．长寿的人

C．π的近似值 D．倒数等于它本身的数

答案　D

解析　此题考查集合概念的确定性，只有D中的元素是确定的．

2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系中正确的是(　　)

A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M

C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M

答案　B

解析　本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.

3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　)

A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合

B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合

C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合

D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集

答案　A

解析　由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．

4．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是(　　)

A．1∈M B．0∈M

C．－1∈M D．－2∈M

答案　C

解析　由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，

所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.

所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.

故方程的另一根为－1.

5．(多选)集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(　　)

A．2 B．－2 C．4 D．0

答案　AC

解析　若a＝2，则6－2＝4∈A；

若a＝4，则6－4＝2∈A；

若a＝6，则6－6＝0∉A.

6．(多选)下列说法中错误的有(　　)

A．集合N中最小的数是1

B．若－a∉Z，则a∈Z

C．所有的正实数组成的集合R＋

D．由很小的数可组成集合A

答案　ABD

解析　集合N中最小的数是0，A错误；Z表示整数集，若－a∉Z，则a∉Z，B错误；所有的正实数组成集合R＋，C正确；很小的数没有确定性，不可组成集合，D错误．

7．若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b,0组成的集合B相等，则a2 021＋b2 021的值为________．

答案　－1

解析　由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，

所以＝0，所以b＝0，

所以a2＝1，即a＝±1，

又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，

所以a＝－1.

所以a2 021＋b2 021＝－1.

8．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．

答案　3

解析　方程x2－5x＋6＝0的根是2,3，方程x2－x－2＝0的根是－1,2.根据集合中元素的互异性知，以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素．

9．判断下列元素的全体是否能组成集合，并说明理由：

(1)到∠AOB两边等距离的点；

(2)高中学生中的灌篮高手．

解　(1)到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的角平分线上，故元素是明确的，可以组成集合．

(2)对于灌篮高手，概念模糊，无法明确界定，故不能组成集合．

10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.

(1)若－3∈A，试求实数a的值；

(2)若a∈A，试求实数a的值．

解　(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.

若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．

综上所述，实数a的值为0或－1.

(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.

当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；

当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．

综上知a＝1.

11．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)

A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B

C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B

答案　C

解析　集合A中的元素为y，是数集，

又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3,10)∈B.

12．设集合A含有－2,1两个元素，B含有－1,2两个元素，定义集合A⊙B，满足x1∈A，x2∈B，且x1x2∈A⊙B，则A⊙B中所有元素之积为(　　)

A．－8 B．－16 C．8 D．16

答案　C

解析　集合A⊙B中有2，－4，－1三个元素，故所有元素之积为8.

13．(多选)由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是(　　)

A．1 B．－2 C．－1 D．2

答案　ABD

解析　由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，

解得a≠±2，且a≠1，即a的取值不可能是1，±2.

14．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，M中元素个数为________．

答案　3

解析　针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，共3个．

15．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝________；b＝________.

答案　－3　2

解析　因为集合A与集合B相等，且1∈A,2∈A，

所以1∈B,2∈B，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根．

所以所以

16．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．

求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

证明　(1)若a∈A，则∈A.

又因为2∈A，所以＝－1∈A.

因为－1∈A，

所以＝∈A.

因为∈A，所以＝2∈A.

所以A中另外两个元素为－1，.

(2)若A为单元素集，

则a＝，

即a2－a＋1＝0，方程无实数解．

所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．