数学归纳法（mathematical induction）是一种重要的数学证明方法，利用它可以证明某些命题对于全体正整数成立.一般地，用数学归纳法证明“命题对于全体正整数成立”的步骤为：（1）证明对于1成立；（2）证明“若P对于成立，则P对于 1成立”.当完成（1）(2)之后，便可断言：对于全体正整数都成立.
众所周知，正整数1,2,3,…有无穷多个，数学归纳法用两个步骤就能完成对于无穷多情况的的证明，它的逻辑基础是什么？它是哪种类型的推理？以下笔者谈谈自己的浅见。
正整数是人类最早认识的数，它看似是最简单的数，但是由于其具有无限性的特征，在数学中严格地描述正整数集合并不简单. “人生有限，数目无穷.”如果一个数、一个数地研究关于正整数的问题，那么永远不可能解决问题. 于是，许多人便从正整数的本质属性入手，探究如何对正整数集合进行整体性刻画。在这方面德国数学家康托尔（G. Cantor，1845-1918）和意大利数学家皮亚诺（G. Peano,1858~1932）分别从基数和序数的角度作出重要贡献。皮亚诺是研究数理逻辑和数学基础的先驱，1891年他给出了对正整数有序性的严格刻画，即皮亚诺公理. 用现代的数学语言和符号可以把这些公理的意义简述如下：
①1是一个正整数.
②每个正整数都有一个后继数(实际即 1)仍是正整数.
③1不是任何正整数的后继数.
④若与的后继数相等，则与相等.
⑤设是正整数集合N*的子集，若
（1）1属于；
（2）当属于时，的后继数（实际即 1）一定有也属于，
则= N*.
这几条公理反映了正整数集合有序性的本质特征，由此可推出：正整数集合是一个无限的良序集，它的任何非空子集中的元素都可以依大小关系排序，并在其中存在最小数.
上述公理⑤也称为数学归纳法原理，它给出了证明一个集合是正整数集合的一种方法，是数学归纳法的理论基础.
在形式逻辑中，从“特殊”到“一般”的推理，叫做归纳推理；从“一般”到“特殊”的推理，叫做演绎推理.后者的一般形式是三段论，即“大前提——小前提——结论”.其中大前提（）是一个一般性的命题（凡满足条件的对象都有性质），小前提（）是指某个特殊对象满足大前提中的条件（对象S满足），结论（）是指这个对象符合大前提中的结论（有性质）.古希腊哲学家曾用一个典型的例子说明三段论——“人都会死，苏格拉底是人，苏格拉底会死.”在数学中，经常使用三段论形式的推理，并且要求在一个证明中只能有限次地使用它，而无休止的三段论推理不是严格的数学证明，不能导致使人确信的结论.
从总体上看，用数学归纳法证明一个具体命题对于全体正整数成立时，大前提正是上述皮亚诺公理中的数学归纳法原理，这是一个公认的一般性真命题.需要证明的恰恰是小前提，即适合具体命题的正整数集合满足大前提中的条件（1）和（2），由此得出结论=N
，即任意正整数都满足命题. 因此，我们说数学归纳法是按照三段论展开的严格的演绎推理，即在确立一般性的大前提的基础上，针对具体命题证明小前提，获得关于具体命题的结论. 由此看来，数学归纳法中“大前提——小前提——结论”的证明结构，与通常的几何证明在逻辑上具有一致性. 例如，依据“过直线外一点有且仅有一条直线与平行”这条一般性公理（大前提），再指出“某三角形的顶点是直线外一点”（小前提），便可以得出“过点有且仅有一条直线与边平行”（结论）, 就是这样的证明结构. 必须注意，数学归纳法中对于小前提的证明包括（1）和（2）两步，缺一不可，这是因为大前提——数学归纳法原理中的条件有（1）和（2）两条，两者都需具备.
通常我们称数学归纳法中的第（1）步（证明“=1时命题成立”）为“奠基”，称第（2）步（证明“若时成立，则 1时也成立”）为“递推”.第（1）步多为验证的形式，而第（2）步则需先作出归纳假设“时成立”，再由此推证 “1时成立”.虽然第（2）步的证明一般比第（1）步复杂，但从三段论的角度看，它们都是针对具体命题证明小前提的，大前提则是作为公理而无须证明的数学归纳法原理.
既然数学归纳法是演绎推理，为何其名称中又有“归纳”二字呢？笔者认为，第一，虽然从整体上看，如前所述数学归纳法符合“先一般，后特殊”的三段论形式，但是从证明中涉及的数的角度看，证法中的第（1）步是针对=1（或
）进行的，这里的1（或
）是特殊的数，所以这一步是在讨论特殊对象；第（2）步是从“时成立”出发，推导“ 1时也成立”，这里的已不是一个特殊的、确定的数，而是在进行从“到 1”的一般性递推. 因此，证明中对的讨论顺序则是“先特殊，后一般”的，这不仅符合“由易到难，由简到繁”的证明思路，也反映了人们发现规律的通常过程. 第二，数学归纳法原理这个一般性原理的产生背景，恰是人们面临涉及无穷多个数的问题，苦于无法完成无限次验证，而长期思索如何解决这个难题. 人们经历了无数次特殊的、具体的验证性实践后，认识终于升华，总结出正整数集合的元素具有可以无穷次递推的后继关系，并进一步概括了这种规律，从而形成关于正整数的公理. 不完全归纳法的“验证——发现——想象”，对数学归纳法原理的产生是功不可没的，没有验证性的探索及归纳，就没有对后继数及其间包含递归关系的一般性认识，也就没有数学归纳法原理的产生. 由以上两点，我们可以认为数学归纳法虽是演绎推理，却具有归纳思想的色彩. 或许正因如此，才在这种方法的冠名中保留了“归纳（induction）”吧！正是由于有了这种证明方法，使得“人生有限，数目无穷”的难题在一定程度上得以解决，使得用有限次步骤证明涉及正整数集合的某些命题有了充足的逻辑基础.
