我们这里要说，一、二、三、四、五、六、七、八、九，这都是量变，但是一旦到十了就不一样了，就是质变了，为什么不一样？因为零、一、二、三、四、五、六、七、八、九，每个数字都有自己的符号，都有不同的符号，但是十已经没有自己的符号了，十是用前面那两个符号表达的。所以说一年级学数学不能像幼儿园一样，唱、跳、数、背、捆（小木棍儿），不动脑子的捆不行了，因为人工智能来了，你如果还这样学数学，你将来比机器人还笨，二十年以后你怎么找工作？所以你得思考，这十怎么就没有自己的符号了？是怎么回事儿？

我们从历史上来考察考察。在殷商时代，甲骨文里边就有很多的数字符号，但是这个时代还没有数位，大家要明白，这个数位是本质的，实际上十进制也不是本质的，十进制只不过是我们常用的，二进制用一和零就表达了所有的数了，但它的本质还是数位。在甲骨文时期，已经有十进制的思想了，但是还没有数位。如果我在三千多年前想表达九万，只能把三个三万拿出来，拿出三个来，画三道，三个三万就是九万了，就是用这些数字符号进行累加。但是到了春秋战国时期，大约孔子这个时代，就有了数位，有了数位以后就把那么多符号都丢掉了，只留一到九，当然还应该有个零，但那个时候还没有零，我们常说“运筹帷幄”，其实在春秋战国时期就有算筹了，摆了一到九个符号，然后把这九个符号按照不同的数位去摆，就能表达所有的自然数了，哪一个数位上是零就空着。

这个十的产生，十进制数位计数法的产生，是我们数学发展史上的一个重要的里程碑。当然了十进位值制计数法到底是谁发明的，国际上公认是印度，但是我们国内的数学家们通过研究发现，中国人比印度还早那么一点，我们最早发明使用了十进位值制计数法，所以我觉得这个发明可以跟四大发明相媲美了。

回到教科书，我们教体现十进位值制计数法的历史、文化、原理、思想、方法，它的价值就是要让学生去探索经历十进制计数法的产生过程，他得知道，我既可以把十根捆成一捆，表示十，也可以只用一根小棒表示十，那么一根既可以表示一又可以表示十，混淆了怎么办？那我们就得发明不同的数位，不同的位置，放在哪里是表示十，放在哪里是表示一，把这个产生的过程让学生经历、探索，去体验我们祖先发明十的这个过程。

我们为什么要这么强调十进制计数法呢？我想告诉大家，不管哪一套教科书，不管是什么版本的，所有的自然数，包括小数的读、写、比较、排序、计算都离不开十进位值制计数法。前一阵大家在群里边争论，一个大数最高位和最低位是两个非零数字，然后中间有若干个零，这个到底怎么读？是读一个零还是一个零可以不读，群里争论不休。后来就有的老师给我发微信说王老师这个到底是读一个零好还是不读呢？我说我买了一辆电动汽车我花了五万八，请你猜一猜我这五万八是多少钱呢？他告诉我是五万八千。好了，我们平时都会理解成是五万八千，但是如果我们在学习的时候，最高位是五，个位是八，中间有三个零，那如果要把这个零省掉，你给人读的时候到底是多少？是不是就会产生误会了呀？他忽然就明白了，不用我告诉他怎么读他就知道了。所以为什么我们教科书规定不管中间有几个零，我们都至少要读一个零。当然了，你要不嫌麻烦，你把所有的零都读出来没毛病。实际上读数，不就是把一个别人不知道的数，每一个数位上是几告诉别人嘛！

包括大小比较，我们法则的总结也要让孩子去理解，不要死记硬背。要让孩子理解为什么两个自然数比较大小，哪个数位多谁就大呢？道理在哪里呀？比方说，最小的两位数是十，最大的一位数是九，最大的两位数是九十九，最小的三位数是一百，以此类推，我们就发现了，最大的n位数总比最小的n 1位数小一，所以其他的数就更不用说了，我们就能得出一个结论：任何两个自然数比较大小，谁数位多谁就大。如果数位相同，那就看最高位嘛，最高位谁大谁就大嘛，因为你最高位假设是九，你后边带了很多零，另一个数最高位是八，你后面带了很多九，你不还是得比它小一吗？对不对，所以说这个道理你明白了，不用死记硬背，因为数学是讲道理的，不是背出来的。

第二个方面是关于计算，计算我这里想强调什么？就是我希望把计算在这个人工智能的时代理解成推理，前面我不是说了吗，抽象、推理、模型，我们把这个计算理解成推理，当然首先还要理解一些跟计算相关的一些概念，包括加减乘除，各个运算，算式各部分的名称是什么，算理、算法是怎么规定的。说到算理、算法还是要依据十进位值制计数法，人工智能的时代，学生要理解一个计算的算理、算法，一个计算的结果是推出来的，不是背出来的。

另一个很重要的计算就是二十以内的进位加法。二十以内的进位加法孩子们都背得很熟练了，但我这里还是希望强调什么？就是要理解！九加二为什么等于十一？因为我们现在表达的是十进制的系统，十进制的系统就是要求每个数位上的数字最大是九，九加二肯定比九大，肯定一位数不够表达，就得用两位数表达，两位数表达就得满十进一，满十进一的根本就是凑十。但是我们传统上都习惯拆小数加大数，把二拆成一跟一，对吗？这是没问题的。我们希望未来的教科书孩子们能达到这样一个境界，他认为把九凑成十还是把二凑成十都不重要，重要的是一定要凑成十。那我就喜欢把九拆成一跟八，我把八加二等于十，行不行？没问题！只要你理解了就好。所以这就是九加二等于十一是推出来的，不是背出来的。

我前面说了，很多家长都以孩子上幼儿园会背乘法口诀为荣，那么在幼儿园会背乘法口诀重要吗？我认为重要，但不那么重要，至少不是最重要的。有一些家长孩子上幼儿园就找我来要教科书，说我孩子上幼儿园五岁、四岁就得看一年级数学课本了，我说你不如去找语文课本，现在统编语文课本编得多好，我们希望孩子在幼儿园就多阅读、多认字、多背唐诗宋词，如果你能在上一年级的时候认识五百个字，你学数学肯定会效果更好。虽然我是搞数学教育的，但是我希望孩子们首先把语言学好，多阅读，多认字，因为语言是思维的载体，你认识的字越少，越影响你对数学的学习。数学不是思维的体操吗，但是我告诉你，语文如果不好，也会影响数学的学习，尤其是一年级，一上来教科书就有很多生字你都不认识、不理解，那你怎么理解这些概念呢？包括一年级有加数、和、被减数、减数、差、加号、减号等等，也有很多概念是用语言文字表达的。我希望孩子们在幼儿园多学习我们传统的文化，多背唐诗宋词，多阅读，多认字，打下一个很好的语言文化的基础，再来学习其他学科效果会更好。

我做过调研，了解到少部分初中生学习有理数、实数运算的时候还会把乘法口诀算错。那么我想这可能就是你在幼儿园会背了，但是到了初中有的个别地方就忘掉了，就是你没有理解乘法口诀是怎么来的，没有理解乘法的意义，没有理解乘法口诀是怎么编制的，没有体验这个过程，没有掌握乘法口诀编制的方法。所以我们就希望我们现在的生本学材和下一套人教版教科书，要让学生充分的理解乘法的意义，乘法口诀是什么，怎么编的，它的历史，它的文化，这样我们才能适应这个人工智能的时代。

因为你理解了，即使有些公式、有些东西忘了，你还是可以凭借良好的推理能力、良好的数感把它再推导出来。比如有少部分初中生会把五九四十五、六九五十四给搞颠倒了，但是如果建立了数感，你可以这样想，六九到底是五十四还是四十五？你如果不知道，那你知不知道六个十是多少？六个十是六十，那一个九比一个十少一，六个不就少六吗？六十减六不就五十四吗？如果你具备了这种数学的逻辑思维能力、推理能力，你具备了这种良好的数感，你六九五十四怎么会忘呢？或者忘了也可以把它推一下。我举这一个简单的例子，代表了小学、初中、高中、大学，因为我们并不能把所有的公式都背下来，但是如果你哪个忘了，希望你能够利用已有的知识把它推导出来。这才是未来我们所希望的培养的数学家的苗子。数学是不能死记硬背，一定要理解。

乘法我们理解了，那我们竖式、横式怎么学呢？现在教科书多位数乘法的笔算，基本上都主要是用竖式，但是我们还希望学生理解这个竖式的法则、算理、算法是怎么规定的，是怎么来的呢？比方说十三乘二，为什么一跟三不相乘？为什么一和三要分别跟二相乘？道理何在？那我们看看我们利用乘法分配律，可以按照十进制计数法的原理，十三乘二是表示两个十三相加，一个十三是表示由一个十和三个一组成的，那我们就可以按照乘法分配律，把十三按照十进位值制计数法把它拆分，拆成了（10 3）×2，然后等于10×2加3×2，然后等于20 6=26。这样横式跟竖式就对应起来了，孩子们就明白了为什么多位数乘法笔算的竖式，要把两个因数的数字分别交叉相乘，然后把两部分积加起来。

两位数乘两位数也是一个难点，就是22乘13当中的1，也要跟两个2分别相乘，那它到底是什么意思？按照目前的调研结果来看，我国四年级学生笔算两位数乘两位数，正确率只有76%。而且据调研表明，理解算理的学生不到一半，也就意味着有24%的学生不会，76%当中会的，但是有30%不理解算理是死记硬背的。我告诉大家，这个死记硬背的和不会的，将来到初中考数学也就只能考60、70分了，所以我们必须得理解这个原理到底是什么。

我们来看，按照乘法分配律，把22和13都拆开，当然上面这个式子横式小学生不能理解，因为是多项式乘法。那再看下边这个，先拆22，然后乘出两个积，然后再把13再拆一次，总共能得到四个积，四个积就对应上竖式当中的四个数，两个6和两个2分别表示什么就清楚了。那我们再回过头来再看，再看这个图形，几何直观，数形结合，也可以把这个图形理解成一个大的长方形，长是二十二，宽是十三。求面积，这个面积可以由四个小矩形组成，四个小长方形组成，这样就把这个数形结合起来了，孩子们就理解了，两个因数相乘要交叉相乘，然后把这个积加起来。

其实除法也是这样。我记得去年有一位年轻的老师，他刚上完有余数的除法，就给我发微信说：“王老师我上课的时候有一个学生提了一个问题，他说被除数13当中的1，是十根小棒，够四除，老师你怎么说不够四除呢。”这老师当时一下懵了。后来我说除法的理解，归根结底还要回到十进位值制计数法，被除数13当中的1，虽然数量上有十根，但是它从原理上、从数位上、从计数单位上，它是一个十，以十为单位只有一个，当然不够四除了呀。所以我们还得把这一个十，变成10个1跟3个1合起来，然后以1为单位，有13个，这个时候就够四除了，老师恍然大悟。后来我们继续交流，我说如果我把13后边再加个零，就变成130了，这个时候一还不够除，但是它已经表示一个百了，这个时候就要把这一个百变成十个十，以十为单位有13个，就够4除了这个时候，商的3表示3个10，所以商要写在十位上。那可以继续变，把除数四后边再加个零，130除以40。学生们是不是自己就会思考了，那我们就把有余数的除法，除数是一位数的除法，除数是两位数的除法，这个知识就形成了关联结构化，形成了一个模块，学生就能够达到关联结构化，以此类推、举一反三的境界。学生就会推理了，会类比了，会思考了。

二、小学数学教材改革

第二个话题，我们谈一谈课堂教学改革。实际上我们今天提出的很多理念不是现在才有的。刚才我提到，民国时期的教育家陶行知先生，他早年留学美国，师从美国教育家杜威先生，学成回国以后他在1919年在国内兴师办学，到处演讲，他在有一次做报告的时候就谈到，他认为，先生的责任不在教，而在教学，而在教学生学，就是归根结底教育是要让学生会学习。

陶行知先生出生于1891年，三年之后，1894年叶圣陶先生出生，叶老是著名的儿童文学家、编辑家、出版家，同时也是人教社第一任社长、老领导。叶老早年在1960年给青年教师做报告时也说：“教是为了达到不需要教。”我想这也表达了我们希望学生学会自己教育自己，学会自学的教学本质。现在我们的教育部部长陈宝生先生在人民日报发表文章《努力办好人民满意的教育》当中也提到：“要深化基础教育人才培养模式的改革，掀起课堂的革命，努力培养学生的创新精神和实践能力。”我想这句话的本意就是现在的课堂教学还没有真正的落实素质教育，我们要想办法在课堂上落实素质教育。

关于素质教育的课堂教学，我这几年做了一些思考，后来出了一本专著，总体上我想表达这样一个基本的课堂教学范式，就是基本范式不是唯一的，但是是核心的，最重要的。我希望基本的、重要的课堂教学是用这种范式：首先是教师的活动，即布置作业、布置任务、学习任务、课堂上创设情境，引出要研究的主题，引导学生自学、探究，组织学生去交流，然后进行抽象概括，归纳总结，然后再通过练习、反馈查缺补漏。那么学生的活动就包括课前预习、复习，课堂上提出问题，提出重要的核心的问题，老师给出研究的问题以后能够自己关联旧知识，能够通过把新知识转化成旧知识，进行关联通过转化、划归来达到解决新知识，掌握新知识，解决新问题，然后通过自主学习，然后再合作交流，然后巩固训练、拓展提高。我们希望以学生为主体，学生的事情归学生，教师起主导作用，启发、引导、组织、合作，教师的活动归教师，二者要达到一个平衡。

01 体现以学生为主体、自主学习的学习方式。

我要再强调几点，首先我认为学生要学会自主探究，就能够尽早的达到学会自己教育自己，就是一个人的成长、自我意识的觉醒和自我学习行为、习惯、方法的养成是最根本的、最重要的。当然我们也希望学生的自主探究、合作交流、教师讲解、练习，各种方式达到一个均衡。只不过假设一堂课四十分钟，前二十分钟我希望把讲台的中心留给学生去表演、去表达、去探究表达交流，老师在第二十一分钟出场，把学生表达交流的去进行抽象、概括、全面、系统、结构化、有深度、有高度，概括出概念关系、结构、模型，这是我们特别要强调的，这是深度学习与浅层学习的一个对比。

碎片化、模仿、记忆、死记硬背对应的理解，就是无论是数学家还是心理学家，都认为在理解的基础上进行结构化的记忆，才是一个人在头脑当中保持长久记忆的一个最重要的一个方法。理解的基础上关联结构化的记忆，是能够保持最长久的。

02 复习与关联

第二是学生在学习教学的过程当中要主张自主、关联、复习、结构化，而且复习不是每个单元结束了才复习，学生的认知结构不停地每天添砖加瓦逐步形成的，不是等着单元结束了才复习，就是你的结构不停的要往上添砖加瓦，要关联，你不关联了它这个结构不结实。我们来看它的原理，据说我们每个人大脑都有上千亿个脑细胞，一个脑细胞就是一个神经元，那个短的叫轴突发射信号，长的叫树突接收信号，信号和信号之间的传递就靠神经元之间关联起来，我们通过放大镜发现还没有完全勾起来，但是它们的距离已经近到能够足够的连接起来。连接起来以后能够达到信号的传递，保持这个链接的完整、结实。最后要达到什么？就是你一个结构形成了，就像铁链子焊接死了一样，让它牢不可破，达到长久的记忆。

我们的人脑跟计算机一样有存储区和工作区，现在大家都在听数学方面的，那你的大脑的工作区域就是放在数学这个区域里头，然后平时不用的就放在仓库里头，用的就要把这个仓库打开。比方说我们现在搞学习数学，就要把空间的、逻辑的这个仓库里存储的这些数据，这个脑细胞激活，调到这个运行区来工作来思考。所以说我们的链条如果不结实，那用北京话讲叫断片儿了，掉链子了，等你学习的时候，有的题你就做着做着就不会了，因为你这个链条接不起来了，所以说我们要关联复习结构化，这是我们生本呈现的。

比如一到五的认识学完以后，就要让孩子画思维导图，把学过的知识在头脑当中过一遍，去思考、去理解、去推理、去想象，然后再把它表达出来，把它画出来。当然一年级刚开始肯定很多孩子表达不完整、不全面，但是我们要慢慢的来，通过交流、辅导，经过几个星期、几个月、几个学期的训练，逐步的将来到六年级、五年级孩子们会思考了、会表达了，他的认知结构就逐步的完整了，结实了。

03 自主探究（类比、比较、转化）

第三个是自主探究。自主探究就是要学会推理，学会以此类推，学会比较，新旧知识关联转化。刚才我说了，这个思想方法就是学生自我意识的觉醒，即自主行为习惯，学习习惯的方法的养成，是一个人成长的根本。今天还有五十五个县的老师们在听，我这里希望表达一个什么意思？我们家庭条件很一般的孩子，你得让孩子明白一个道理，很可能我的父母在外地打工，爷爷奶奶年龄大了，没有人监督我、辅导我的作业，没人给我报课外班，没有人给我请家教，但如果你理解数学，学会自己独立思考，独立学习，你就能自己教育好自己，甚至你可能比报班的，让那些死记硬背的人，你将来学得更好。我想今天你要是记住我这句话，那你的孩子、你的学生一定会受益终身的。