作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

据先秦典籍《世本》记载：「尧造围棋，丹朱善之」。作为距今约有四千年历史的古老游戏，究竟与数学有何缘分？本文尝试叙述之。

我们先了解一下关于图的基本概念。

无论是东方的星宿或是西方的星座，都是古人对于图论最初的应用。事实上，围棋本身极可能起源于上古天文学，围棋棋盘中心点称为天元，其余8个特殊位置的点称为星位（图2）。

图1

图2：标准围棋棋盘

所谓图(Graph)，是由一些离散的点以及连接这些点的边所构成。我们将图记为，其中表示顶点集(vertex set)，表示边集(edge set)。如果两顶点之间存在边，则说两者相邻，记为，此外连接两者的边也可以说与此两点相邻。

显然围棋棋盘是一个图，记为。我们把下棋落子的过程视为构造子图的过程，所谓子图即满足：

我们定义图的商运算：将子图整体替换为一个顶点 ，保持子图之外的顶点以及与不相邻的边不变，凡是与相邻的边，则将此边的端替换为.

图3：图的商运算。将「喜」变成「吉」。这个图源于剪纸。

我们说两个顶点是道路连通，即存在一系列首尾相接的边构成的道路，分别以此两点为首尾端点（如果道路首尾端点是同一个点，则称道路为圈）。连通的概念也可以推广到图与图之间。一个图可能是由若干个不连通的子图构成，如果把漫天的星座视为一个巨大的图，则每个连通的星座可以被称为连通分支。