数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数。

1. 数的奇偶性

奇数 奇数 = 偶数 奇数 偶数 = 奇数 偶数 偶数 = 偶数

奇数×奇数 = 奇数 偶数×偶数 = 偶数 奇数×偶数 = 偶数

奇数个奇数相加 = 奇数 偶数个奇数相加 = 偶数

（只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数）

2. 数的整除，常见的数的整除特征

（ 1 ） 2 ：个位是偶数；

（ 2 ） 3 ：各个数位之和是 3 的倍数；

（ 3 ） 5 ：个位是 0 或 5 ；

（ 4 ） 4 、 25 ：后两位可以被 4 （ 25 ）整除；

（ 5 ） 8 、 125 ：后三位可以被 8 （ 125 ）整除；

（ 6 ） 9 ：各个数位之和是 9 的倍数；

（ 7 ） 7 ：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，差是 7 的倍数。例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程如下： 13 － 3 × 2 ＝ 7 ，所以 133 是 7 的倍数；又例如判断 6139 是否 7 的倍数的过程如下： 613 － 9 × 2 ＝ 595 ， 59 － 5 × 2 ＝ 49 ，所以 6139 是 7 的倍数；

（ 8 ） 11 ：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差 ( 以大减小 ) 是 11 的倍数；

（ 9 ） 13 ：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被 13 整除即可被 13 整除。

3. 余数的性质

（ 1 ）余数的可加性：和的余数等于余数的和；

（ 2 ）余数的可减性：差的余数等于余数的差；

（ 3 ）余数的可乘性：积得余数等于余数的积；

（ 4 ）同余的性质：

对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除；

对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。

抛砖引玉

【例 1 】下列各数中，（ ）同时是 3 和 5 的倍数．

A ． 18 B ． 102 C ． 45

【例 2 】 能同 时被 2 、 3 、 5 整除的最小两位数是（ ），能同时被 2 、 3 整除的最小三位数是（ ），最大三位数是（ ）．

【例 3 】 2309 至少加上（ ）是 3 的倍数，至少减去（ ）才是 5 的倍数。

【例 4 】三个连续偶数的和是 90 ，这三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）．

【例 5 】养鸡场一天收 160 千克鸡蛋，每 18 千克鸡蛋装一箱，可以装多少箱？还剩多少千克？

沙场点兵

1. 从 0 、 1 、 5 、 7 四个数中任选三个数组成一个三位数，这个数既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，还是 5 的倍数，这样的三位数有（ ）个。

A ． 2 B ． 3 C ． 4

2. 一列队伍，从第一个人向后按 1 至 6 顺序循环报数，最后一个人报的是 3 ，这支队伍的人数一定是（ ）的倍数。

A ． 2 B ． 3 C ． 5 D ． 6

3. 三个连续偶数的和是 120 ，其中最大的一个数 是（ ）．

4. 同学们献爱心捐款，有五名同学共捐了 410 元，他们的捐款数恰好是 5 个连续的偶数，这五名同学各捐了多少钱？

5. 一根绳子长 21 米，剪 8 米做一根长跳绳，剩下的每 2 米做一根短跳绳．可以做多少根短跳绳？还剩下多少米？

实战演练

1. （ 2016 •广州）一个两位数除以 5 余 3 ，除以 7 余 5 ，这个两位数最大是（ ）

A ． 72 B ． 37 C ． 33 D ． 68

2. （ 2016 •长沙）某同学在计算一道除法时，误将除数 35 写成 53 ，所得的商是 35 余 12 ，正确的商与余数的和是（ ）．

3. （ 2016 •东莞）三个连续奇数的和是 645 ．这三个奇数中，最小的奇数是（ ）．

4. （ 2017 •漳州）既能被 2 整除，又能被 3 整除的最大两位数是，既能被 3 整除，又能被 5 整除的最小 三位数是（ ）

．

5. （ 2017 •枞阳县）列式计算：一个数除以 99 ，商是 10 ，余数是整数，这个数最大是多少？

6. （ 2017 •德化县）学校进行团体操表演，每行站 20 人，正好站 24 排．如果要站成 16 排，那么每行需要站多少人？