在实际生活中，我们常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，这就是排列问题。在排列的过程中，不 仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。

为了给出排列问题的一般解法，我们给出排列的定义及计数公式。 一般的，从 n 个不同的元素中，每次任取出 m 个（m≤n）不同的元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中任取出 m 个元素的一个 排列，简称 m 元排列。

排列的基本问题是计算排列的总个数，就是所谓的“排列数”。

按照排列的定义，做一个 m 元的排列由 m 个步骤完成：

第一步：从 n 个不同元素中任取一个元素排在第一位，有 n 种方法；

第二步：从剩下的 n - 1 个元素中任取一个元素排在第二位，有 n - 1 种方法；

……

第 m 步：从剩下的 n -（m - 1）个元素中任取一个元素排在第 m 个位 置，有 n - m 1 种方法。

根据乘法原理，利用给定的 n 个不同元素做 m 个不同元素的排列的 方法数是：

n ×（n - 1）×（n - 2）×（n - 3）× … ×（n - m 1）。

实例

用 4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的四位数？

思路解析

这个问题是四个元素的全排列。 所以，根据排列数公式，可以得出四位数的个数是：

4 × 3 × 2 × 1 = 24。

这 24 个四位数是：

4567，4576，4657，4675，4756，4765；

5467，5476，5674，5647，5764，5746；

6457，6475，6547，6574，6745，6754；

7456，7465，7546，7564，7645，7654。

答：用 4、5、6、7 可以组成 24 个没有重复数字的四位数。

拓展练习一

用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的四位数？

答案提示

​这是一个从 7 个元素中取 4 个元素的排列问题，可以知 道 n = 7，m = 4。

由排列数公式，共可组成： 7 × 6 × 5 × 4 = 840（个）。

答：用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成 840 个没有重复数字的四位数。

拓展练习二

有 5 本不同的书，7 名同学去借，每人最多借一本，书全部 借出去，一共有多少种不同的借法？

答案提示

把 5 本书借给 7 名同学，可以理解为把 5 个元素放在 7 个不同位置的排列问题 ，可以知道：

n = 7，m = 5。

由排列数公式，共可有 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520（种）不同的借法。

拓展练习三

（1）幼儿园里有 6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子（每人只 能坐一把），有多少种不同的坐法？ （2）幼儿园有 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子（每人只能坐一 把），有多少种不同的坐法？

答案提示

​（1）6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子，可以理解为把 3 把 不同的椅子分给 6 个小朋友的排列问题，可以知道 n = 6，m = 3。由排列 数公式，共有 6 × 5 × 4 = 120（种）不同的坐法。

（2）3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子，可以理解为把 3 名小朋友分给 6 把不同的椅子的排列问题，可以知道 n = 6，m = 3。由排列数公式，共有 6 × 5 × 4 = 120（种）不同的坐法。