本文为“2023年第五届数学文化征文活动

一个普遍适用的有界图形计数公式

——多面体欧拉公式的推广

作者 : 陆元鸿

作品编号：017

我们都知道，对于多面体，有这样一个著名的欧拉公式：

V-E F=2，

其中V是多面体的顶点数， E是多面体的棱数， F是多面体的面数。

例如，在一个立方体中，顶点数V=8 ，棱数E=12 ，面数F=6 ，正好有

V-E F=8-12 6=2。

但是，欧拉公式并不是对任何多面体都适用的。

例如，让两个四面体“头顶头”共用一个顶点，组成一个多面体：

它的顶点数V=7 ，棱数E=12 ，面数 F=8，所以有

V-E F=7-12 8=3。

显然不符合欧拉公式。

又例如，在一个大立方体的某个面的中央，伸出一个小立方体，构成一个“凸”字形的多面体：

它的顶点数V=16 ，棱数E=24 ，面数F=11 ，所以有

V-E F=16-24 11=3。

显然也不符合欧拉公式。

又例如，在一个大立方体的内部，挖去一个小立方体，得到一个空心立方体：

它的顶点数V=16 ，棱数 E=24，面数F=12 ，所以有

V-E F=16-24 12=4。

显然也不符合欧拉公式。

又例如，在一个扁平的立方体中，挖一个正方形的穿孔，得到下面这样一个“镜框式”的多面体