与上面的例4中的环面相类似，在这个图中也可以找到两个闭路：一个是像图中(abc)那样的横截环面的闭路，另一个是像图中(defg)那样的环绕孔洞的闭路，这两个闭路围成的面，每一个都不与任何已经计数的面构成闭面，所以，根据前面的第（8）条规定，这两个闭路围成的面，一定要计数作为图形中的两个面。
这样，图中连通点集数 S=1，点数V=12 ，线数 E=24，面数 F=12 2=14，体数C=1 ，所以
S-V E-F C=1-12 24-14 1=0。
推广的欧拉公式——有界图形计数公式显然成立。
例6 退化环面（孔洞退缩为一个点的“救生圈”）
点：A，B，C。
线：a(AB)，b(AB)，c(BC)，d(BC)，e(AC)，f(AC)。
面：α(ace)，β(bde)，γ(acf)，δ(bdf)。
体：Ω(αβγδ)。
照上面这样计算，图中通点集数S=1 ，点数V=3 ，线数 E=6，面数 F=4，体数C=1 ，推广的欧拉公式——有界图形计数公式似乎不成立：
S-V E-F C=1-3 6-4 1=1。
但是，图中有一个闭路(ab)，不与任何已经计数的面构成闭面，所以，根据前面的第（8）条规定，这个闭路围成的面ε(ab) ，一定要计数作为图形中的一个面。这样，图中的面数就变成了F=4 1=5 。
增加这个面以后，图中其他的闭路围成的面，都可以与已经计数的面构成闭面：
(cd)=(ab)(ace)(bde)，(ef)=(ace)(acf) 。
所以，图中用不着根据第（8）条规定再增加其他的面了。
这时
S-V E-F C=1-3 6-5 1=0。
推广的欧拉公式——有界图形计数公式显然成立。
例7 Klein瓶（如下图，一个瓶子的瓶口弯曲插入瓶中，与瓶底连接）
Klein瓶是一个单侧曲面，没有“内部”和“外部”之分，所以，它其实并不能把任何一个空间部分封闭在它的内部，但是，它是一个闭面，图中又没有其他已经计数的体，所以，根据前面的第（11）条规定，可以而且必须认为这个Klein瓶“围成”了一个体。
点：A，B。
线：a(AB)，b(AB)，c(AB)，d(AB)。
面：α(acad)，β(bcbd)。
体：Ω(αβ)。
照上面这样计算，图中通点集数S=1，点数 V=2 ，线数 E=4，面数F=2 ，体数C=1 ，推广的欧拉公式——有界图形计数公式似乎不成立：
S-V E-F C=1-2 4-2 1=2。
但是，图中有两个闭路(ab) 和 (ac)，这两个闭路围成的面，每一个都不与任何已经计数的面构成闭面，所以，根据前面的第（8）条规定，这两个闭路围成的面：γ(ab)和δ(ac) ，一定要计数作为图形中的两个面。这样，图中的面数就变成了 F=2 2=4 。
增加这两个面以后，图中其他的闭路围成的面，都可以与已经计数的面构成闭面：
(bc)=(ab)(ac)，(bd)=(ab)(ac)(bcbd),(ad)=(acad),
所以，图中用不着根据第（8）条规定再增加其他的面了。
这时
S-V E-F C=1-2 4-4 1=0。
推广的欧拉公式——有界图形计数公式显然成立。
例8 带一个“交叉帽”的球面（将一条Möbius 带的边缘，与一个圆面的边缘粘贴起来，构成的一个闭面）
它也是一个单侧曲面，没有“内部”和“外部”之分，所以，它其实并不能把任何一个空间部分封闭在它的内部，但是，它是一个闭面，图中又没有其他已经计数的体，所以，根据前面的第（11）条规定，可以而且必须认为它“围成”了一个体。
点：A，B，C，D,E,F。
线：a(AD),b(AB),c(AC),d(AE),e(BF),f(DF),g(EF),h(CF),i(BC),j(DE)。
面：α(abef)，β(cdgh)，γ(bci)，δ(adj),ε(geihfj)。
体：Ω(αβγδε)。
照上面这样计算，图中通点集数S=1 ，点数 V=6 ，线数 E=10，面数 F=5，体数C=1 ，推广的欧拉公式——有界图形计数公式似乎不成立：
S-V E-F C=1-6 10-5 1=1。
但是，图中有一个闭路(ehi) ，这个闭路围成的面，不与任何已经计数的面构成闭面，所以，根据前面的第（8）条规定，这个闭路围成的面η(ehi) ，一定要计数作为图形中的一个面。这样，图中的面数就变成了 F=5 1=6 。
增加这个面以后，图中其他的闭路围成的面，都可以与已经计数的面构成闭面：
(fgj)=(ehi)(geihfj),(bdge)=(bci)(ehi)(cdgh),(achf)=(bci)(ehi)(abef)，(abihf)=(abef)(ehi)，(cdjfh)=(cdgh)(ehi)(geihfj)，
所以，图中用不着根据第（8）条规定再增加其他的面了。
这时
S-V E-F C=1-6 10-6 1=0。
推广的欧拉公式——有界图形计数公式显然成立。
推广的欧拉公式——图形计数公式的证明
证（1）设图中只有点，没有线、面、体。
设图中连通点集数为 S，点数为V 。由于图中没有线，图中任何两点都是不连通的，图中有几个点就有几个连通点集，显然有 S-V=0 ，公式成立。
（2）设图中只有点、线，没有面、体。
当图中线数为 0 时，就是只有点，没有线、面、体的情形，上面（1）中已经证得公式成立。
设已知图中线数为某个非负整数 k 时，公式成立。下面看图中线数为 K 1 时的情形。
从K 1 条线中任意取一条线，设它是 a 。
首先，如果这条线没有端点，或者这条线的两个端点是同一个点，那么这条线自身必定是一个闭路，而且这个闭路围成的面不与任何已经计数的面构成闭面，按照前面的第（8）条规定，必须将它计数作为图中的一个面，但是已知图中没有面，这就发生矛盾，可见这种情形是不可能的。
因此，这条线必定有两个不同的端点，设这两个端点是A,B 。将线 a 从图中删除。这时，原来连通的 A,B 两点，删除线 a 后必定变成不连通，因为如果删除 a 后A,B 仍然连通，则图中必有一组线，这组线的端点再加上A,B 两点所组成的集合中，每个点都出现偶数次。换句话说，这组线再加上线 a ，是一个闭路，而且这个闭路围成的面不与任何已经计数的面构成闭面，按照前面的第（8）条规定，必须将它计数作为图中的一个面，但是已知图中没有面，这就发生矛盾，可见删除 a 后 A,B 仍连通的情形是不可能的。删除 a 后连通变成不连通，说明线数减少 1 后，连通点集数会增加 1 。
设在删除 a 以后，线数为 k 的图中，连通点集数为S' ，点数为 V'，线数为E' ，根据归纳假设，这时公式成立，有
S'-E' F'=0。
又设在未删除 a 以前，线数为k 1 的图中，连通点集数为 S，点数为 V，线数为E 。因为连通点集数S=S'-1 ，线数E=E' 1 ，所以有
S-V E=(S'-1)-V' (E' 1)=S'-V' E'=0，
可见， k 1时公式也成立。
所以，对图中线数为任何非负整数的情形，公式都成立。
（3）设图中只有点、线、面，没有体。
当图中面数为 0 时，就是只有点、线，没有面、体的情形，上面（2）中已经证得公式成立。
设已知图中面数为某个非负整数k 时，公式成立。下面看图中面数为k 1 的情形。
从 k 1 个面中任意取一个面，设它是 α。
如果围成 α 的闭路是空集，或者在围成 α 的闭路中任何一条线都出现偶数次，那么 α 本身必定是一个闭面，而且这个闭面围成的体不与任何已经计数的体构成闭体，按照前面的第（11）条规定，必须将它计数作为图中的一个体，但是已知图中没有体，这就发生矛盾，可见这种情形是不可能的。
因此，在围成 α 的闭路中，必有一条线出现奇数次。设在围成 α 的闭路中，出现奇数次的线是 α ，除了 α 以外闭路中其余的线是b,c,···,z 。
从图中删除线 a 和面 α 。
从图中删除 a 后，不会使 a 的两个端点从连通变成不连通，因为a 与 b,c,···,z 构成一个闭路，删除 a 后，由于存在b,c,···,z ，线 a 的两个端点显然仍是连通的。
从图中删除线 a 后，除了减少一个面 α 以外，图中其它的面都不会减少，因为如果其它的面用 a 作边线，删除 a 后，可以用 b,c,···,z 代替a ，使得围成其他面的闭路仍然是一个闭路。
设在删除 α 以后，面数为 k 的图中，连通点集数为 S'，点数为 V'，线数为E' ，面数为 F'，根据归纳假设，这时公式成立，有
S'-V' E'-F'=0。
又设在未删除 α 以前，面数为 k 1 的图中，连通点集数为 S，点数为 V，线数为E ，面数为 F 。因为线数E=E' 1 ，面数F=F' 1 ，所以有
S-V E-F=S'-V' (E' 1)-(F' 1)
=S'-V' E'-F'=0，
可见，k 1 时公式也成立。
所以，对图中面数为任何非负整数的情形，公式都成立。
（4）设图中只有点、线、面、体，没有更高维数的几何对象。
当图中体数为 0 时，就是只有点、线、面，没有体的情形，上面（3）中已经证得公式成立。
设已知图中体数为某个非负整数k时，公式成立。下面看图中体数为 k 1 的情形。
从 k 1 个体中任意取一个体，设它是 Ω 。
如果围成 Ω 的闭面是空集，或者在这个闭面中任何一个面都出现偶数次，那么 Ω 本身必定是一个闭体，但是，由于图中没有更高维数的几何对象，所以按照前面的第（12）条规定，图中不允许出现闭体，这就发生矛盾，可见这种情形是不可能的。
因此，在围成 Ω 的闭面中，必有一个面只出现奇数次。设这个出现奇数次的面是 α ，除了 α 以外闭面中其余的面是β,γ,···,ω。
从图中删除面 α 和体Ω 。
从图中删除面α 后，除了减少一个体 Ω 以外，图中其它的体都不会减少，因为如果其它的体用α 作表面，删除 α 后，可以用β,γ,···,ω 代替 α ，使得围成其他体的闭面仍然是一个闭面。
设在删除 Ω 以后，体数为 k 的图中，连通点集数为S' ，点数为V' ，线数为E' ，面数为F' ，体数为C' ，根据归纳假设，这时公式成立，有
S'-V' E'-F' C'=0。
又设在未删除 Ω 以前，体数为k 1 的图中，连通点集数为S ，点数为 V，线数为 E，面数为F ，体数为 C 。因为面数F=F' 1 ，体数 C=C' 1 ，所以有
S-V E-F C=S'-V' E'-(F' 1) (C' 1)
=S'-V' E'-F' C'=0，
可见， k 1时公式也成立。
所以，对图中体数为任何非负整数的情形，公式都成立。
证毕。
上面这个证明，显然很容易推广到四维、五维、… ，以至任何n维有界图形的情形。
推广到任何 维后，有界图形计数公式——推广的欧拉公式可以表述如下：
