1、函数

一、函数的概念

定义：设 A 是非空数集，若存在对应关系 f ，对 A 中任意数 x ( 对任意的 x ∈ A )，按照对应关系 f ，对应唯一一个 y ∈ R , 则称 f 是定义在 A 上的函数，表为

f ：A → R .

数 x 对应的数 y 称为 x 的函数值，表为 y = f ( x ) 。x 称为自变数，y 称为因变数。

数集 A 称为函数 f 的定义域，函数值得集合 f ( A ) = { f(x) ∣ x ∈ A } 称为函数 f 的值域 。

二、函数的四则运算

定义：设两个函数 f 与 g 分别定义在数集 A 与 B 。

1、若 A = B ，且 对任意的 x ∈ A ，有 f ( x ) = g ( x ) , 则称函数 f 与 g 相等，表为 f = g 。

2、若 A ∩ B ≠ ∅ ，则函数 f 与 g 的 和 f g , 差 f - g ，积 f · g ，分别定义为 ：

( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ A∩B ；

( f - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) , x ∈ A∩B ；

( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ A∩B 。

3、若 （A∩B）- { x ∣ g(x) = 0 } ≠ ∅ , 则函数 f 与 g 的商 f /g 定义为

（ f /g）（x） = f(x) / g(x) , x ∈ （A∩B）- { x ∣ g(x) = 0 } 。

三、函数的图象

设函数 y = f （x）定义在数集 A 上 。

坐标平面上的点集 G（f） = { ( x , y ) ∣ x ∈ A , y = f （x） } 称为函数 y = f （x）在数集 A 上的图像，简称函数 y = f(x) 的图象。

例题1、y = sgn x （符号函数），对任意的 x ∈R , 都对应唯一一个 y 。

例题1图

四、数列

定义：定义在正整数集 N 上的函数 f ( x）称为数列 。

对任意的 n ∈N , 设 f(n) = An , 即 A1, A2 , A3 , ... , An , ...

An 称为数列的 第 n 项 或 通项 。

数列举例：

数列举例图

若 对任意的 k ∈ N , 有 A(k 1) - Ak = d ( 常数），A1 = a , 则称数列 {An} 是等差数列 ， d 为 公差 ，即

a , a d , a 2d , ... , a ( n - 1 ) d , ...

若 对任意的 k ∈ N , 有 A(k 1) = q Ak ( q 常数），A1 = a , 则称数列 {An} 是等比数列 ，q 为 公比 ，即

a , aq , aq^2 , ... , aq^(n-1) , ...

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