全等三角形问题中最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等，本节来介绍下在全等三角形中常见的几种辅助线的作法：
图中有角平分线，可向两边作垂线。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段计算和与差，巧用截长补短法。
三角形里有中线，延长中线至两倍。
在作辅助线的时候要注意以下两点：
①在原图形中作辅助线要用“虚线” ；②在证明过程中要描述添加方法 。
一、用角平分线的性质构造全等
例1、如图,在梯形 ABCD 中, ∠A= ∠D =90°, BE、CE 分别是∠B 和 ∠C 的角平分线 。
求证：BC= AB CD。
例题1图
证明：过点 E 作 EF⊥BC ，垂足为点 F
∵ BE 是 ∠B 的角平分线 ，∠EFB = ∠A = 90°
∴ EF = AE
在 △EFB 和 △EAB 中
∵ ∠EFB = ∠A = 90° ，EF = AE ，EB = EB
∴ △EFB ≌ △EAB （HL）
∴ BF = BA
同理可证 ： CF = CD
∴ BC = CF BF = AB CD
二、连接法
例题2、如图,在五边形 ABCDE中，点 M 是 CD 的中点， AB = AE , BC = ED ， AM⊥CD 。
求证：∠B = ∠E 。
例题2图
证明：连接 AC ， AD
∵ 点 M 是 CD 的中点 ，AM⊥CD
∴ AC = AD
在 △ABC 和 △AED 中
∵ AB = AE , BC = ED，AC = AD
∴ △ABC ≌ △AED （SSS）
∴ ∠B = ∠E
三、用“截长法”或“补短法”构造全等三角形
例题3、如图，在△ABC中， AD是∠BAC的角平分线， ∠C = 2∠B 。
求证：AB = AC CD 。
例题3图
证明：
方法一、截长法
在线段 AB 上取点 E ， 使得 AE = AC , 连接 ED
∵ AD是∠BAC的角平分线
∴ ∠EAD = ∠CAD
在 △EAD 和 △CAD 中
∵ AE = AC , ∠EAD = ∠CAD ，AD = AD
∴ △EAD ≌ △CAD
∴ ED = CD , ∠AED = ∠ACD
又 ∵ ∠AED = ∠B ∠EDB （三角形外角和定理），∠ACD = 2∠B
∴ ∠B ∠EDB = 2∠B （等量代换）
∴ ∠B = ∠EDB
∴ BE = ED （等角对等边）
又∵AB = AE EB
∴ AB = AC CD （等量代换）
方法二、补短法
延长线段 AC 至点 F ，使 CF = CD ，连接 DF
略证：
由 ∠ACB = 2∠B = ∠CDF ∠F ， ∠CDF = ∠F
可得 ∠B = ∠F
在证 △ABD ≌ △AFD （AAS）
可得 AB = AF
而 AF = AC CF = AC CD
即证 AB = AC CD
注：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，常用此方法 。
四、倍长中线法构造全等三角形
例题4、如图，在 △ABC 中， AD是线段 BC 边上的中线 。
求证 ： AD < 1/2 ( AB AC ) 。
例题4图
证明：延长 AD 到点 E，使 DE= AD，连结CE
∵ AD是线段 BC 边上的中线
∴ BD = CD
在 △ADB 和 △EDC 中
∵ BD = CD ，∠BDA = ∠CDE ，AD = ED
∴ △ADB ≌ △EDC （SAS）
∴ AB = EC
在 △AEC 中
∵ EC AC > AE （三角形中两边之和大于第三边）
又∵ AE = 2AD
∴ AB AC > 2AD
即证 ： AD < 1/2 ( AB AC )
