这里余数定理,指对于除数为x-a.那么,将x=a代入被除数f(x)所求得的结果就是余数.
这个定理可以扩大,即将除数扩大到最高次项为±xⁿ的n次多项式.如x³ 2x-6. x⁴-x³ 4x 5.-x² 2x-3.等等.
求余数的方法如下: 1.令:除数等于0.求出xⁿ的低次多项式. 2.分离出f(x)中的幂中的次方数大于n的xⁿ.代入低次多项式,化简.对化简合并后的多项式,不断重复上述方法,直到最后的多项式小于除数的多项式的次数为止.
例1.求用x³ 2x-6去除3x⁷ x⁵ x⁴-2x 4的余数. 解:令:x³ 2x-6=0.得:x³=-2x 6.而: 3x⁷ x⁵ x⁴-2x 4
分离: =3(x³)²x x³x² x³x-2x 4
代入: =3(-2x 6)²x (-2x 6)x² (-2x 6)x -2x 4
化简: =10x³ -68x 112x 4
不需分离,还需代入: =10(-2x 6)-68x² 112x 4
化简: =-68x² 92x 64
这里的次数已低于除数x³ 2x-6的次数,故求解结束. 故本题的余数为-68x² 92x 64.
例2.求证:-x²-3x 4能整除-2x³-7x² 5x 4.
证明:令:-x²-3x 4=0.得:x²=-3x 4. 而-2x³-7x² 5x 4
=-2x²x-7x² 5x 4
=-2(-3x 4)x-7(-3x 4) 5x 4
=6x² 18x-24 =6(-3x 4) 18x-24
=0.
即证.