人教版七年级数学下册知识点

第五章 相交线与平行线

一、知识要点

1、在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平行 ，

垂直 是相交的一种特殊情况。

2、在同一平面内，不相交的两条直线叫 平行线 。如果两条直线只有 一个 公

共点，称这两条直线相交；如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。

3、两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角

是

邻补角。邻补角的性质： 邻补角互补 。

4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反

向延长线 ，这样的两个角互为 对顶角 。对顶角的性质：对顶角相等。如图 1

所示，∠1与∠3互为对顶角。∠1=∠3；∠2与∠4互为对顶角，∠2=∠4

5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或 90°时，称这两条直线互

相垂直，

其中一条叫做另一条的垂线。如图 2所示，当 ∠1 = 90°时， a⊥ b。

垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：

垂线段最短。

性质 3：如图 2所示，当 a ⊥ b 时，∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 90°。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。

6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：

①在两条直线(被截线)的 同一方 ，都在第三条直线(截线)的 同一侧 ，这样的

两个角叫 同位角 。同位角呈"F"

②在两条直线(被截线) 之间 ，并且在第三条直线(截线)的 两侧 ，这样的两个

角叫 内错角 。内错角呈"Z"

③在两条直线(被截线)的 之间 ，都在第三条直线(截线)的 同一旁 ，这样的两

个角叫 同旁内角 。同旁内角呈"U"

7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

图 1

13 42

图 2

13 42

ab

图 3

a 57 86

13 42

b

c

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平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相

平行。

平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等。例如：∵a∥b ∴∠2=∠6

性质 2：两直线平行，内错角相等。如图 4所示，∵a∥b，∴∠1=∠7

性质 3：两直线平行，同旁内角互补。如图 4所示，∵a∥b，∴∠1 ∠6=180°

性质 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 a∥b，a∥c，则 b ∥

c 。

8、平行线的判定： 判定 1：同位角相等，两直线平行。如图 5所示，如果 =

或 = 或 = 或 = ，则 a∥b。

判定 2：内错角相等，两直线平行。如图 5所示，如果 =

或 = ，则 a∥b 。

判定 3：同旁内角互补，两直线平行。如图 5所示，如果 = 180°；

= 180°，则 a∥b。

9.平行线的性质与平行线的判定有什么区别？判定：已知角的关系得平行的关

系。（证平行，用判定。） 性质：已知平行的关系得角的关系。（知平行，用性质。）

10、判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命

题 和 假命题 之分。如果题设成立，那么结论 一定 成立，这样的命题叫 真命

题 ；如果题设成立，那么结论 不一定 成立，这样的命题叫假命题。真命题的

正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。

11、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动

叫做平移变换，简称平移。

平移后，新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同。平移后得到的新图形中每

一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。平移

性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等；②对应线段相等；③

对应角相等。

第六章 实数

1.算术平方根：般地，如果一个正数 x的平方等于 a，即 2x =a，那么这个正数 x

图 4

a 57 86

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b

c

图 5

a 57 86

13 42

b

c

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叫做 a 的算术平方根．a 的算术平方根记为 a ，读作"根号 a"，a 叫做被开方

数．如：25 的算术平方根是 5，记做 525  ，规定：0 的算术平方根是 0,求带

分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数.

2. 被开方数越大，其相应的算术平方根也越大。

.414.12  732.13  . 5 2.236 .

3.平方根：①如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a的平方根．即：如

果 2x =a，那么 x叫做 a的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．平

方与开平方互为逆运算。a(a≥0)的平方根记作 a ，例如 9 3  

②性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是 0；负数没有

平方根．

③平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，

而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反

数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。

4.立方根：如果3x =a，那么 x叫做 a的立方根．记为 3x a ，例如： 3 8 2 ，

3 27 3  

①性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；零的立方根是零．②一般

地，33 aa 

5 算术平方根等于本身的数有 0，1.平方根是它本身的数是 0，立方根是它本身

的数是 0，1，-1.

6.被开方数扩大或缩小 100 倍时，它的算术平方根扩大或缩小 10 倍;被开方数扩

大或缩小 1000 倍时，它的立方根扩大或缩小 10 倍。

二、实数及其分类：

1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

2、实数的分类：

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







数）无理数（无限不循环小

小数）（有限小数或无限循环分数

整数有理数















负无理数

负有理数负实数

零

负无理数

正有理数正实数

3、任何一个实数都可以在数轴上表示，数轴上的任何一个点都是一个实数。实

数与数轴上的点一一对应。

三、实数的运算：

1.实数的相反数：数 a的相反数是 a 。

2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对

值是 0.

第七章 平面直角坐标系

1、有序数对：有顺序的两个数 a与 b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b） 。

2、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直

角坐标系。水平的数轴称为 x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称

为 y轴或纵轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

3、坐标：对于平面内任一点 P，过 P 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别在 x

轴，y轴上，对应的数 a,b 分别叫点 P的横坐标和纵坐标，记作 P(a，b)。

4.x 轴上的点的纵坐标为 0，表示为（x，0）；y 轴上的点的横坐标为 0，表示为

（0，y）。原点的坐标是（0，0）；

5、象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方

向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。

6. 几个象限内点的特点：第一象限（ ， ）；第二象限（—， ）；第三象限（—，

—）；第四象限（ ，—）。

7、点到两轴的距离：点 P(x,y)到 x 轴的距离是︱y︳； 点 P(x,y)到 y 轴的距

离是︱x︳。

8、对称点的坐标特点①关于 x 轴对称的两个点，横坐标 相等，纵坐标 互为相

反数；②关于 y 轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点

对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。

实数实数

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9、过这两点的直线与 y 轴平行，两个点的 横坐标 相同；过这两点的直线与 x

轴平行，两点的 纵坐标相同。

10、在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平分

线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。如果点 P(a，b) 在一、三象限角平分线

上，则 P 点的横坐标与纵坐标相同，即 a = b ；如果点 P(a，b) 在二、四象限角

平分线上，则 P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即 a = －b 。

11、表示一个点(或物体)的位置的方法：一是准确恰当地建立平面直角坐标系；

二是正确写出物体或某地所在的点的坐标。选择的坐标原点不同，建立的平面直

角坐标系也不同，得到的同一个点的坐标也不同。此外，还可以用方位角和距离

表示点的位置。

12、坐标平移规律：①把点向左平移时，横坐标减，向右平移时，横坐标加，纵

坐标不变②把点向上平移时，纵坐标加，向下平移时，纵坐标减，横坐标不变。

如将点 P(2，3)向左平移 2 个单位后得到的点的横坐标 2-2=0，纵坐标不变，坐标

为（0,3）；将点 P(2，3)向右平移 2 个单位后得到的点的横坐标为 2 2=4，坐标为

( ,4 ， 3 )；将点 P(2，3)向上平移 2 个单位后得到的点的纵坐标为 3 2=5，

横坐标不变( 2 ， 5 )；将点 P(2，3)向下平移 2 个单位后得到的点的纵坐

标为 3-2=1坐标为( 2 ， 1 )。先向左（右）平移，再向上（下）平移时，

横纵坐标都要变化。

第八章 二元一次方程组

1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的

解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫二

元一次方程，使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程

的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，这样的方程组

叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的

值叫二元一次方程组的解，

4、解二元一次方程组:基本思路： "消元"——把"二元"变为"一元"，方法

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是代入法和加减法。

代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的

式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则

将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再代入另一个

方程中，从而消去一个未知数，得到一个一元一次方程。用加减法解二元一次方

程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等

又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或

互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数。

第九章 不等式与不等式组

1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括：＞ 、＜ 、≥ 、

≤ 、 ≠ 。"≥"表示不小于，不少于，不低于等，"≤"表示不大于，不超过，

不高于。

2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个

含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。不等式的解

集可以在数轴上表示出来。"＞"朝右边画，"＜"朝左边画，有"="画实心点，

没有含"="画空心点。求不等式的解集的过程叫解不等式。

3.含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的不等式叫一元一

次不等式。

4、不等式的性质：①性质 1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，

不等号的方向 不变 。

用字母表示为： 如果 ba  ，那么 cbca  ； 如果 ba  ，那么 cbca  ；

②性质 2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不

变 。

用字母表示为： 如果 0,  cba ，那么 bcac  (或cb

ca )；如果 0,  cba ，那么

bcac  (或cb

ca )；；

③性质 3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改

变 。

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用字母表示为： 如果 0,  cba ，那么 bcac  (或cb

ca )；如果 0,  cba ，那么

bcac  (或cb

ca )；

5、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类

项； ⑤系数化为 1 。

6、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的不

等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫

不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解

(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解

集的过程叫解不等式组。

7、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；

②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果

这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等

式组的解集为空集 )。

8、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：同大取大，同小取小，

大小小大取中间，大大小小无处找。

第十章 数据的收集、整理与描述

1、对数据进行处理的一般过程：收集数据、整理数据、描述数据、分析得出结

论。

2、数据收集过程中，调查的方法通常有两种：全面调查和抽样调查。

3、除了文字叙述、列表、划记法外，还可以用条形图、折线图、扇形图、直方

图来描述数据。

4、抽样调查简称抽查，它只抽取一部分对象进行调查，根据调查数据推断全体

对象的情况。要考察的全体对象叫总体，组成总体的每一个考察对象叫个体，被

抽取的那部分个体组成总体的一个样本，样本中个体的数目叫这个样本的容量 。

5、画频数直方图的步骤：①计算数差(最大值与最小值的差)；②确定组距和组

数；③列频数分布表；④画频数直方图 。

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