1.平面向量基本定理

如果e₁，e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂，使a=λ₁e₁＋λ₂e₂。

e₁，e₂不共线，是判断一组向量能否作为基底的关键。

问：若{e₁，e₂}是平面向量的一个基底，则e₁，e₂可能有零向量吗？

答：e₁，e₂不可能有零向量，因为如果e₁，e₂有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提条件是矛盾的，故e₁，e₂中不可能有零向量。

问：平面向量的基底是唯一的吗？

答：不唯一。在同一平面内，向量基底可以不同，只要不共线即可。

同一非零向量在不同的基底下分解式是不同的。但如果两个不共线的方向确定了，那么这样的分解式唯一的。

2.向量的坐标表示

如图所示，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi yj.

平面内的任一向量a都可以由x，y唯一确定，把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作：a=（x，y）。其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。

注意：a=（x，y），不能写成a（x，y）。

一个向量的坐标表示等于此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。即若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB=（x₂-x₁，y₂-y₁）。

问：表示向量的有向线段平移后，起点坐标和终点坐标发生了变化，该向量的坐标会发生变化吗？

答：平移后，该向量的坐标不变。因为向量坐标是表示此向量的有向线段的终点坐标和起点坐标的差。不管表示两个向量的有向线段起点在什么位置，如果这两个向量相等，则它们对应的坐标相等。

平面向量与它的坐标之间是一一对应的，即若向量确定，则坐标唯一；若坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一。

3.向量运算的坐标表示

已知a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），

（1）a b=（x₁ x₂，y₁ y₂），

（2）a-b=（x₁－x₂，y₁－y₂），

（3）λa=（λx₁，λy₂），

（4）向量a，b（b≠0）共线的充要条件是：

x₁y₂－x₂y₁=0.

（5）a·b=x₁x₂ y₁y₂。

（6）a⊥bx₁x₂ y₁y₂=0.

（7）cosθ==.

对于（4），

①当x≠0时且y≠0时，a∥b=，即两个向量的对应坐标成比例。

②不需要注明a≠0。在向量共线定理中，a∥bb=λa（λ∈R），必须注明a≠0。在本问题中，当a=0时结论也成立，所以不需要注明a≠0。