图1-14-10
分析 如果设养鸡场的面积为 y 平方米，宽为 x 米，那么根据题意可列出 y 与 x 的函数关系式，通过研究这个函数的最大值，就可以解决养鸡场面积最大的问题。
解 设所围成的养鸡场的面积为 y 平方米，宽为 x 米，那么长为（40-2x）米。
根据题意，得 y=x(40-2x)=-2x 40x=-2( x -10)² 200. ∵a =-2﹤0
∴函数y有最大值
当 x =10时，y最大值＝200
答：取宽为10米时，所围的养鸡场的面积最大，为200平方米。
〔二次函数与一元二次方程间的联系〕 二次函数 y =ax² bx c ，当 y =0时，即对应一元二次方程ax² bx c=0.
(1）当△=b²-4a﹥0时，一元二次方程ax² bx c =0有两个不相等的实数根，这时的抛物线 y =ax² bx c与 x 轴有两个交点，它们的横坐标就是方程的两个根。
(2）当△=b²-4ac=0时，一元二次方程ax² bx c =0有两个相等的实数根，这时抛物线 y =ax² bx c 的顶点在 x 轴上，它的横坐标就是方程的根。
(3）当△=b²-4ac﹤0时，一元二次方程ax² bx c =0没有实数根。这时的抛物线 y =ax² bx c 与 x 轴没有交点。
说明
根据二次函数与一元二次方程的关系，可利用二次函数的图像来解一元二次方程。利用图像法解一元二次方程ax² bx c =0的一般步骤是：先作函数 y =ax² bx c 的图像，利用它求出抛物线与 x 轴交点的横坐标，这样就求得方程的根，但求得的根一般是近似值。
例 求证：不论 m 取什么实数，抛物线 y =x²-( m -2) x -2m-3与 x 轴必有两个交点。
分析 欲证明抛物线与 x 轴有两个交点，只需证明△﹥0即可。
证明 △=[-( m -2)]²-4(-2m-3)
=㎡-4m 4 8m 12
= m ² 4m 16
=(m 2)² 12
∵(m 2)²≥0
∴△=( m 2)² 12﹥0
∴抛物线与 x 轴必有两个交点。
〔分段函数〕 自变量的取值范围分成几段，函数在每一段上都用相应的函数解析式表示，这样的函数叫做分段函数。
例 某城市出租汽车收费标准如下：
3公里以内（含3公里）收费10元；超过3公里的部分,每公里收费2元。写出应收车费 y （元）与出租汽车行驶路程 x （公里）之间的函数关系式。
分析 所求函数解析式由两部分组成，不超过3公里是常值函数 y =10，超3公里部分是一次函数 y =2( x -3).因此所求函数解析式可用分段函数表示。
解 根据题意，可得函数解析式为
〔反例函数〕 函数 y =k/x( k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。称变量 x , y 成反比例。函数的定义域是 x ≠0的一切实数。
说明
反比例函数 y =k/x还可表示成说明反比例函数 y =kx-1 的形式，确定了 k 的值，就可以确定反比例函数。
例 已知 y =y₁-y₂, y₁ 与2x成反比例，y与x²成正比例，并且当 x=1时,y =-1；当 x =-1时， y =-5．求当 x =2时，y的值。
分析 要求出y的值，先要求出y与x的函数关系式。因为 y₁与2x成反比例,y与x²成正比例，所以可设y₁ =k₁/2x, y₂=k₂x²,从而可得y=k₁/2x﹣k₂x².将已知的与y的两组对应值分别代入，即可求得 k₁，k₂的值，从而求得函数关系式及当当 x =2时，y的值。
解
∵因为 y₁与2x成反比例,y与x²成正比例
∴设y₁ =k₁/2x, y₂=k₂x²
∵ y =y₁-y₂
∴y =k₁/2x－k₂x²
∵当 x=1时,y =-1
当 x =-1时，y =-5
∴y与x的函数关系式是y=4/2x－3x²
即 y=2/x－3x²
∴当x=2时，y=2/2－3×2²=11
点评 本题中的y₁,y₂是两个不同的函数，因此其中的k₁,k₂的值不一定相同，所以在设待定的系数时，务必注意，不能用一个字母k表示，而一定要用不同的字母（如k₁,k₂）来表示，以示区别。
〔反比例函的图像〕 反比例函数y=k/x(k≠0)的图像由两条曲线组成，叫双曲线，每条曲线叫做它的一个分支。
〔反比例函的性质〕反比例函数y=k/x(k≠0)有如下性质：
(1）当 k﹥0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小。
(2）当 k ﹤0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
(3）图像的两个分支都无限接近于x 轴和 y 轴，但不会与x 轴和 y 轴相交。
说明
(1）画反比例函数图像，可首先通过列表、描点、连线画出它的一个象限的一支双曲线，再利用两个分支关于原点对称，画出另一支。
(2）反比例函数的图像分别在两个不同的象限内，如 k ﹥0时，两个分支分别在第一、三象限内，而第一象限内的 y 的值总大于第三象限内 y 的值。因此在用性质时，要注意 he
“在每个象限内”这个条件。
例 双曲y=6/与y=-6/x的图像（图1-14-11）
图1-14-11
〔确定反比例函数解析式〕 对于一个反比例函数，如果已知其图像上一点的坐标，就可以确定这个反比例函数的解析式。
方法步骤如下：
(1）写出反比例函数一般形式 y =k/x
(2）将已知点的坐标（ xo , yo ）代入 y =k/x，从而确定k = xoyo ;
(3）最后写出反比例函数解析式 y = xo yo/ x .
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