数学的逻辑推理在实际的应用中，如运筹学、博弈论等中有广泛的应用，日常的生活中到处都是逻辑用语。通过本知识点的学习，理解必要条件的意义,性质定理与必要条件的关系.充分条件的意义,判定定理与充分条件的关系.充要条件的意义,数学定义与充要条件的关系.掌握充分条件、必要条件的判断方法.

一、必要条件与性质定理

1.推出(⇒)

若命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p⇒q.

2.必要条件

一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.

知识点解析

说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”.

二、充分条件与判定定理

一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.

综上,对于真命题“若p,则q”,即p⇒q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.

知识点解析

1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了.

2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”

如何从集合角度理解必要条件、充分条件?

一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A⊆B,如图所示,

那么p(x)⇒q(x),因此p(x)是q(x)的充分条件,q(x)是p(x)的必要条件

三、充要条件

1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件.记作p⇔q.

2.p是q的充要条件也常常说成“p成立,当且仅当q成立”或“p与q等价”.

3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.

提示：设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B

判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况?

(1)如果p⇒q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件;

(2)如果p不能推出q,且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件;

(3)如果p⇒q,且q⇒p,则称p是q的充要条件;

(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要条件

充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1.定义法:(1)分清哪个是条件,哪个是结论.(2)判断“若p,则q”及“若q,则p”的真假.(3)根据(2)得出结论.

2.集合法:写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系进行判断.

3.等价转化法:将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题.

4.特殊值法:对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况,用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件),但是这种方法不适用于证明题.

5.传递法:若问题中出现若干个条件和结论,应先根据条件画出相应的“推式图”,再根据图中推式的传递性进行判断

思考提升

1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.

2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.

寻求q的充要条件有两种方法

(1)等价转化法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中求解的过程也是证明的过程,因为过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.

(2)非等价转化法:先寻找必要条件,再证明充分性,即从必要性和充分性两方面说明.