作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！
序多项式函数的函数图像相信大家都有所了解：一次函数是直线，二次函数是抛物线……然而这都是在实数域上的讨论。本文尝试可视化多项式在复平面上的作用，从而给出代数基本定理更为直观的理解，让我们一起领略复数世界的奇妙现象。
复数ABC关于复数的知识我在前面的文章有过论述（从复数到分形——Julia集、Mandelbort集简介，点击链接查看文章），具体细节可以参考此文。下面我们简要叙述一下关于复数的基本知识。
复数是2维的数，其全体构成是复平面，这是认识复数最方便的几何对象。我们中学接触的实数域上的连续函数，都可以在坐标系下画出曲线；然而，以复数作为变量的函数——复变函数，在复平面上是无法画出曲线的，因为复变函数本质上是复平面到自身的变换。
复数的加法是平移变换，乘法是旋转和伸缩变换。欧拉公式十分直白地体现了复数乘法的特性：
即模长相乘，辐角相加。
幂函数对于函数，用欧拉公式去表示，其几何意义很显然：将模长变成原来的n次方，辐角扩大为n倍。
上图这是平方函数对于复平面的作用，我们看到原来的正交的网格变成了彼此正交的抛物线（即所谓的共形变换），请读者自行证明。
<<< 左右滑动见更多 >>>
这个变换直观上看就好像是将复平面沿负实半轴剪开，然后绕着原点环抱，形成双层结构（如下图）。
