双层结构对于平方根函数，即平方函数的反函数有重要的意义，它形象生动地解释了为什么平方根有两个，即

因为它们位于不同的层——分支。这样一来，平方根函数（其实不是严格意义上的函数，准确地来说是多值函数）变成一个真正的（单值）函数了。数学家将这一思想推广，这样的曲面被称为黎曼曲面。这些曲面在三维空间表示不可避免产生自交，但这并不影响我们的判断。

当我们围绕

为了看清多项式函数对于复平面的作用，我们不妨以代数基本定理的视角观察，即把多项式函数分解为一次因式的乘积：

允许，即重根的情况。这样一来，多项式函数可以视为对复平面逐次进行乘积变换。为方便讨论，我们不妨令多项式函数的首项系数.

设

• 当时，复平面沿着方向平移了个单位；

• 当时，如下图，设和是多项式的两个零点，即和，是复平面上其他任意一点. 两个橙色向量恰好就代表着复数.

这两个复数相乘，其模长即是两复数模长乘积，关键在辐角：两辐角之和.

这有什么奇怪呢？确实，这就是我们在前文铺垫的复数乘积的几何意义，没什么特别的。但是，如果我们让上图点沿着包围和的绿色大圆转一圈，你会发现，的辐角增加了——两圈！这相当于绕着两个零点各转了一圈。

如果我们只是在某个点周围转圈如下图，情况则会稍加不同：当绕着正向旋转一周时，复数的辐角始终在一个很小的范围变化，即，辐角对并没有贡献。

特别地，让两点逐渐重合，函数就退化为重根的情形：

这与我们讨论过的平方函数是一回事。

让我们回到非重根的情形。多项式的像在每个根局部，和复平面上一点局部类似，此时绕着某个根旋转，和绕一次函数的效果是一样的，辐角的增加都是；然而当闭曲线充分远离全体根，的拓扑特性开始显现，从而实现原像复平面转1周，像上就会转周，同理可得，对于而言会转周。