——分专题讲解因式分解的方法与利用

一、因式分解的相关概念

1．因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2.多项式：由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

3．整式：单项式和多项式都统称为整式。整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。

4．单项式：由数字或字母的乘积组成的式子。单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因素称为系数。单项式中的所有字母的指数和称为次数。

5．代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。

摘自网络

整式的因式分解与整式的乘法是互逆的代数式变形。

玩一玩，思考下：我们为什么选择24点游戏？

网络图片合成

二、因式分解的一般原则

1．最后结果每一项都为最简因式，也就是分解要彻底。（即分解之后的因式均不能再做分解；是否有公因式，是否可用公式）；

2．最后结果只留下小括号；

3．最后结果中多项式首项系数为正（结果的多项式是首项为正，为负时提出负号，如，

4．如有单项式和多项式相乘， 应把单项式提到多项式前；

5．相同因式的乘积写成幂的形式；

6．如无特殊要求，一般在有理数范围内分解；如另有要求，在要求的范围内分解。

根据因式分解的原则，初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、公式法和配方法（一元二次方程），中考主要是这三种方法的组合利用，解题中也会应用分组分解法、拆项或添减项法和十字相乘法等技巧。而在初中数学竞赛中有待定系数法、求根公式法、换元法、双十字相乘法、长除法、短除法、除法、对称多项式法、轮换对称多项式法、余式定理法等。

看一看，下利用了什么方法？

某重点中学预录试题

三、因式分解的一般步骤

1．如果多项式的各项有公因式（有的系数需要考虑具体情况）；或者分类后有公因式，那么先提公因式；

2．如果各项没有公因式或提公因式后，可尝试运用公式法、十字相乘法来分解（对于二次二项或三项的式子，考虑应用平方差或完全平方公式分解；对于三次二项式，考虑应用立方和、立方差公式分解）；

3．如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解（对于四项以上的多项式，考虑用分组分解法）；

4．检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解；

5．验证分解后的因式能否还原。

总结：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试；分析常数找规律，分组、拆项要合适，再用公式也不迟。”

练一练，看看利用了什么方法，哪些步骤？

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