专家的盲点

(右侧中文是胡作玄的评注)

兰塞姆：真好笑。这种方法可把一个正方形划分成任意数目的全等的部分。

你可把兰塞姆的三个问题考考你的朋友，以博一笑。前两个难题的解是些很奇特的形状。这些形状给人以一种微妙的启示：既然一个正方形无法分成五个正方形，那必定得分成五个特别的形状。很少有人想到这一显而易见的解法，令人好生奇怪。顺便提一下，把一个正方形分成5个全等的形状，仅此一种方法。

你把这个难题考过你的朋友之后，还可再给他或她试试与此有关的第四个问题。首先向你的朋友说明怎样把图11中的一块地分成四个全等的部分，再问能否把这块地分成三个全等的部分。

图11

你的朋友也许因为题目太难而很快泄气，曾记否兰塞姆把一个正方形分成五个等同部分的那种诀窍。你可向你的朋友说明如何运用这种诀窍使问题迎刃而解，他或他将会恍然大悟。图12为此问题的答案。如前一样，这方法显然也适用于把这块地皮分成任意个等同的部分。

图12

像切分乳酪问题那样的难题一样，上述问题也属于所谓剖分理论，它是趣味数学中丰富多彩的一个分支。许多平面几何和立体几何中的实际问题的求解，可以从中得到有益的启示。兰塞姆的前两个问题特别令人感到兴趣，因为每块地皮是被分成与原先形状相同的若干块。形状具有这种性质的称为重复花样。

图13

图13又展示了几种重复花样。你能否把每种形状分成若干与此形状相同的部分？显然，若拥有源源不断的重复花样，你便能非周期性地铺成一个平面。例如，考虑一个兰塞姆第一次所解的那种 L形重复花样，四个这样的L形可组成一个大的L形花样，四个大L形又可组成一个更大的L形花样，依次重复下去可铺成一个无穷大的平面。请注意我们也可按相反方向无限重复下去，把每一个L形分成四个较小的L形，再把这四个L形分成更小的L形，直至无穷小。

关于重复花样所知甚少。已知的重复花样也可周期性的铺成平面，这就是说，在所铺成的平面中有一种基本图形，它们以平移面非旋转或反射的方式组成平面。是否存在一种无法进行周期性铺面的重复花样？这是铺砌理论中一个著名的悬而未决的问题。