且
原问题中被积函数e^(-A(x)/λ)就相当于上图中f(x)的位置。
回到原问题。
假设函数A(x)在x = xc处有一个最小值,那么对应到相应的指数函数e^(-A(x)),显然将在x = xc处取最大值。特别地,当正参数λ趋于0时,指数函数e^(-A(x)/λ)趋于0,在x = xc处指数函数取到最大值,其趋于0的速度最慢,这一小块邻域的积分将在整个积分中占主导地位!
基于上述思想,我们来给出原指数积分的一种渐进表达式。
假设x = xc是函数A(x) 的最小值点,于是在xc的附近的一小块邻域上,我们有
既然积分区间已经放到了以xc为中心的一小块邻域上,那么自然地,我们可以用更简单的多项式函数来近似代替A(x),即考虑A(x)在x = xc处的Taylor展开:
由于x = xc是函数A(x) 的最小值点,那么A(x)在该点处的导数为零,二阶导数大于零(后面会用到)。于是,我们舍弃2次以上的高阶项,有