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例1.在□内不重复地填上数字1～9，使两个等式都成立。

□÷□×□＝□□

□＋□－□＝□

分析：

1.为描述方便，依次编号为下图：

÷×＝……①

＋－＝……②

2.显然，②式可以转化为＋＝＋，即在形如5、6、7、8或者1、4、6、9……的时候都可以满足此式。这样的变形有利于简化题目分析，因此原题转化成下式。

÷×＝……①

＋＝＋……③

3.在①式中，因为表示两位数，可知÷＞1，即＞。这里容易想到÷＝8÷4＝8÷2＝9÷3……，整除类的算式。又因为÷×＝×÷，所以存在6÷4×8＝12，7÷3×9＝21等情况。很明显÷的商取值范围为：1≤÷≤9，商可能是整数也可能是小数。这个分析结果非常重要，避免了符合条件算式的遗漏。

考虑到四年级的知识限制，因此原题转化为下式讨论更适合四年级学生。

×÷＝……④

＋＝＋……③

4.÷，＞情况完全列举

比较①②两式，确定①中÷入手更利于分析，结合商是两位数，利于缩小范围。

（1）商为整数

9÷3，6÷3，8÷4，8÷2，6÷2，4÷2

9÷1，8÷1，8÷1，8÷1，7÷1，6÷1，5÷1，4÷1，3÷1，2÷1。

（2）商为小数

• 商为有限小数

9÷2，7÷2，5÷2，3÷2；

9÷4，7÷4，6÷4，5÷4；

9÷5，8÷5，7÷5，6÷5；

9÷6；

9÷8

• 商为无限小数

9÷7，8÷7，8÷6，7÷6，8÷3，7÷3，5÷3，4÷3。

在这个列举中，我们把能整除的情况放在第一位，主要是从学生的角度出发，看到题目他们容易想到整除的情况，商为小数的需要学生能深入思考，通常的思维方式肯定是需要小数计算参与了，所以学生可能会认为这样不符合题意了。事实上只要能想到÷×＝×÷，就可以避开小数计算。这一点对学生来说是比较难的，商为1.5,2.5等一位小数的相对好一些，商是两位小数，三位小数的更难（三位小数的情况最终是不符合本题题意的）。

商为无限小数的情况明显是本题中最难的。如8÷6×9，因此，这个题目开始的分析就显得非常重要，将原题转化为下面两式的过程价值连城。

×÷＝……④

＋＝＋……③

经历这样转化，体验“柳暗花明又一村”的惊喜，往往能真正激发学生的学习兴趣，收获满满的成功感。

5.排除明显不符合题意的情况

这里的“明显”不合题意，是指从④式可以直接判断的情况。例如：除数是5、6、7、8的情况全部可以排除。

在×÷5＝中，根据5的倍数特点就可以排除。

在×÷6＝中，代表的数最小是12，很显然×的积为72。即9÷6×8＝12,剩下3、4、5、7，显然不能满足＋＝＋……③，所以排除6。

在×÷7＝中，代表的数最小是12，很显然×的积不可能为84。同理可以排除8。

6.分析是1、2、3、4的情况

用排除法缩小范围后，需要对符合条件的所有情况逐一验证。每种情况的组合还是比较复杂的，如÷＝9÷3，依次有下列算式：

• 9÷3×4＝12,5 8＝6 7
• 9÷3×5＝15,（不合题意）
• 9÷3×6＝18,2 7＝4 5
• 9÷3×7＝21,（不合题意）
• 9÷3×8＝24,（不合题意）

采用以上这个方法，得到本题答案共6组（只考虑①式计算结果，不考虑交换数的位置的情况）。

÷×＝……①

＋＝＋……③

• 9÷1×8＝72,3 6＝4 5，（8÷1×9＝72,3 6＝4 5）。
• 9÷1×6＝54,2 8＝3 7，（6÷1×9＝54,2 8＝3 7）。
• 8÷2×4＝16,3 9＝5 7，（4÷2×8＝16,3 9＝5 7）。
• 9÷3×4＝12,5 8＝6 7，（4÷3×9＝12,5 8＝6 7）。
• 9÷3×6＝18,2 7＝4 5，（6÷3×9＝18,2 7＝4 5）。
• 8÷4×6＝12,3 9＝5 7，（6÷4×8＝12,3 9＝5 7）。

数论类的题目本身看起来门槛低，每个学生都可以试试看，都能找到一种、二种答案，但是一定穷尽答案的话，可能全班没有一个学生做得到，甚至于老师也从没这样要求学生。所以这类题目在奥数教学中到底要讲到什么程度，是否给出一种情况就得满分，题目本身的价值到底在哪里，都是值得深思的。