这篇文章延期了很久，后台也有不少读者留言私信过，今天就导数零点问题中如何找点做一次简要的介绍，此类题目非常多，理解文章的方法逻辑并不难，熟练掌握还得多加练习，这篇文章虽然只介绍用放缩取点法，实际上涉及了导数中所有的放缩思想，建议好好领悟，希望文章对你有帮助，文章一周之后免费，届时重新发布一遍。

一.零点找点问题来源

简要介绍一下问题的来源，数学中零点问题若结合参数，或考查根据零点个数求参数范围，或讨论零点个数，通常有两种解题思路，一是分离参数，但此时会用到极限来判断函数区间两端点处的函数值，这种做法在考试中会扣除两分，二是对参数进行讨论，若确定出函数单调性后，例如函数先减后增，若保证函数有两个零点，则最小值一定要小于零，且在极值点两侧用零点存在定理各找一个零点，由于函数中带有参数，取点处的函数值的正负有时候并不容易确定，当然不排除根据经验找到的点恰好能消除参数或者能判断出函数的正负，若题目需要找两个零点，通常其中一个根据经验相对容易找出，而另外一个零点就需要用放缩取点法来找了。

二.放缩形式有哪些，该选用哪种放缩形式？

放缩从对所放缩的部分来说可分为整体放缩和部分放缩；从放缩精度上来说可分为精确放缩和不精确放缩，例如ex≥x 1属于精确放缩，ex>x²就属于不精确放缩，无论精确与否都属于放缩；如果对函数放缩本身来讲，放缩形式有三种，一是利用有界性来放缩，这种严格来说不属于放缩，而是根据在给定定义域范围下函数的范围也可确定，例如当a>0且x∈[1,2]时，a≤ax≤2a，又或者|sinx|≤1，这种放缩是把函数放缩成具体的数字，第二种是切线放缩，其本质上属于泰勒不等式展开形式的应用，根据ex≥x 1和lnx≤x-1这两个基础性的不等式可引申出很多放缩形式，第三是恒成立放缩，这其实也不能称之为放缩，例如ex>x²。放缩是化曲为直或化曲为曲或化函数为数的过程,至于选择哪种放缩形式并无定论，依题而定，很具有灵活性。

三.常见的指对数放缩形式

ex和lnx均有三种放缩形式，即放缩成一次函数，单增幂函数例如二次函数，单减幂函数例如反比例函数，为什么要区分开这三种放缩形式？是因为这三种不同的放缩形式增长速率不同，单增幂函数>一次函数>单减幂函数，在函数放缩形式进行选择时要考虑到不同函数的增长速率。

四.函数趋势的确定

这是一个很有意思的知识点，函数在间断点或无穷处的函数值其实是由函数中某部分起主导作用的函数决定的，例如函数中包含m(x)和n(x)，若m(x)→ ∞,n(x)→k，则m(x) n(x)→ ∞；若m(x)→ ∞,n(x)→ ∞，m(x) n(x)→ ∞;若m(x)→ ∞,n(x)→-∞，但若m(x)的增长速率远大于n(x)减小的速率，则m(x) n(x)→ ∞

因此可把决定函数趋势或者形态的那部分函数看作函数的主元，其余的均为余子式，对函数进行放缩的时候有三种放缩形式：第一种是不动主元，放缩余子式，放缩后的新函数趋势和原函数一致，第二种是余子式不能放缩，可放缩主元，但必须保证对主元放缩之后的部分依旧决定了函数的趋势，即主元放缩之后依旧是主元，第三种较为特殊，即m(x)和n(x)在定义域的两端点处的极限值相同，虽然两者有速率上的差别，但两者均可看作主元，此时对谁放缩均可，放缩后的形式越简单越好，这是放缩取点法中很重要的部分。

五.放缩取点法的原理

原理其实很简单，若直接找点不容易，例如在函数在极值点的右侧单增，且极值点小于零，则需在极值点的右侧找一个x1使得f(x1)>0,不等式f(x)>0显然不可解，但可通过放缩将f(x)放缩成一个容易解方程的函数，即f(x)>g(x)，因为放缩后g(x)=0容易解，设为x1，根据不等关系点x1自然也满足f(x1)>0,注意最后需证明x1在规定的定义域内。

结合上述第四点主元的判定和放缩的选择，那么放缩取点法就很容易了。

六.典型案例分析

其实案例1找点很容易，对数的真数为x a，因此取点时肯定取一个ek-a的形式，这样就可以对数化为常数，如果按照放缩取点法，此时对数和反比例函数的趋势和整体函数的趋势相同，对哪个放缩均可，原则是越简单越好，当然也可以把对数放缩成一次函数，但这样不如直接将反比例函数放缩成0简单，其它放缩形式读者可自己试一下。