冯跃峰
本节主要讨论如何发掘题中的隐含条件。
有些问题，其条件系统包含了某些隐含的结论，而这个结论不易被发现，但它又是解题的关键。这时，常常需要通过对目标所需条件的审视，发掘所需要的隐含条件。
我们先举一个例子来说明。
例1、设f（x）=，求
f（-5） f（-4） … f（5） f（6）
（上海市高考题）。
【分析与解】如果将每一个数都代入函数表达式去计算，显然过程很繁。因此，本题一定隐含有一定的规律，需要我们去发掘。
从求和式的“对称”特点：多个数与其相反数同时出现，想到考察
f（x） f（-x），期望它的值为常数（隐含结论）。
于是，我们先实现这样的子目标：
f（x） f（-x）=常数。
这可建立如下解题主线：
f（x） f（-x）——→ 常数。
由条件可知，
f（x） f（-x）
= 。
发现差异，为便于合并，将当前状态第二项中负指数转化为正指数，
上式= 。
继续发现差异，两项分母中，的系数不同，可将其变得相同。于是，
上式= 。
至此，两项的分母并不完全一致，难以合并得到常数。我们期望第二个项的分母也是
“”，
这就要在最开始时，将第二个项更换成：
=
= f（-x 1）。
因此，我们要将子目标调整为：
“f（x） f（-x 1）=常数”，
也即“f（x 1） f（-x）=常数”。
建立如下主线：
f（x 1） f（-x）——→ 常数。
按照上面逐步消除两项之间差异的方式，解题畅通无阻。
f（x 1） f（-x）
=
=
=
=
=
=。
将上述隐含的结论，代入最终的目标求值式，便得到所求之值。具体解答如下：
【新写】因为f（x 1） f（-x）
=
=
=
=
=
=。
所以，
f（-5） f（-4） … f（5） f（6）
=6·（f（-5） f（6））
=6·=3。
下面的一个例子与之类似，我们仅演示解答，分析过程留给读者作为练习。
例2、设f（x）=-2x 1，
求。
【新写】因为f（-x）= 2x 1
= 2x 1
=-（ -2x） 1
=-（ -2x 1） 2
=-f（x） 2，
所以f（x） f（-x）=2，所以，
= f（0）
= 1=1003×2 1=2007。
我们再举两个简单的例子。
例3、解不等式：
2|x-|x |x-1|||>|x |x-|x 1|||。
【分析与解】本题含有多层绝对值符号，样子怪吓人的。但只要发掘了隐含条件，则解题非常顺畅。
当然，如果不立足于发掘隐含条件，直接对每个绝对值符号分类讨论，则过程相当繁琐。比如，对于不等式左边，最内层的不等式|x-1|，需要分x≥1、x<1两种情况讨论；对于不等式右边，最内层的不等式|x 1|，又需要分x≥-1、x<-1两种情况讨论。
实际上，|x-1|与|x 1|都无需去掉绝对值符号，各自连同它前面所带的项，其代数和有确定的符号：x |x-1|>0与x-|x-1|<0（隐含条件）。
只要有了这一发现，解答就水到渠成。具体解答如下：
【新写】因为
x |x-1|≥x （1-x）=1>0，
所以，
x-|x |x-1||=x-（x |x-1|）=-|x-1|，
2|x-|x |x-1|||=2|-|x-1||=2|x-1|。
因为
x-|x 1|≤x-（x 1）=-1<0，
所以
x |x-|x 1||=x （|x 1|-x）=|x 1|，
|x |x-|x 1|||=||x 1||=|x 1|。
所以原不等式等价于
2|x-1|>|x 1|，
两边平方，得
4（x²-2x 1）>x² 2x 1。
解得其解集为
（-∞，）∪（3， ∞）。
例4、设x₁、x₂是方程x²-x 1=0的两个根，令
=x₁ⁿ x₂ⁿ。
求A₁ A₂ … A。
【分析与解】本题关键，是发掘隐含条件：数列{}是周期数列。
因为x₁、x₂是方程x²-x 1=0的两个根，
所以x₁²-x₁ 1=0，
于是，x₁-x₁ x₁=0。
同理，x₂-x₂ x₂=0。
两式相加，得
（x₁ⁿ x₂ⁿ）-（x₁ x₂）
（x₁ x₂）=0，
即A-A A=0，
所以A=A-A。
因为A=1，A=-1，A=-2，
A=-1，A=1，A=2，
A=1，A=-1，所以
（A，A）=（A，A）。
又A=A-A，
所以{A}是周期为6的周期数列。于是，
A ₁ A ₂ … A
= A ₁ A ₂ 333（A ₁ A ₂ … A）
= A ₁ A ₂=0。
下面看一个难度稍大一点的例子。
例5、设f（x）满足：对任何实数x、y，有
f（x）f（y）= f（x y），
且x<0时，f（x）>1。
（1）求证：x>0时，0< f（x）<1。
（2）若对任何实数x、y，有
f（x²）f（y²）≤ f（axy）恒成立，求实数a的取值范围。
【分析与解】先看第一个目标：
“x>0时，0< f（x）<1”，
注意其中“x>0时”是条件部分（假言），只有
“0< f（x）<1”才是真正的结论部分。
于是，采用整体目标确定其解题主线：
x>0（起点） ——→ 0< f（x）<1（终点）。
与之接近的条件显然是
“x<0时，f（x）>1”。
但两者存在明显差异：不等式方向相反。只有消除了差异，才能利用条件。
当然，这里的差异消除是很容易的，起点不等式两边同乘以-1即可。于是，
由x>0，有-x<0，
利用题给条件，得f（-x）>1。
再继续发现差异，目标中含有的函数是f（x），需要将当前状态中的
“f（-x）”转化为“f（x）”，
这就要研究f（-x）与f（x）之间的关系。
由此发现，题中的另一个条件（函数方程）恰好是为此服务的（一开始并不知道该条件有何作用，这便是寻找条件的含义）。
构造相同，在“函数方程”中
令y=-x，得f（x）f（-x）= f（0）。
要将f（-x）转化为f（x），
这就需要知道：f（0）=？（子目标）
继续构造相同，在“函数方程”中
令y=x=0，得f（0）f（0）= f（0），
于是f（0）=0或1。
f（0）的两种取值是否都有可能？可逐一检验。
如果f（0）=0，则在“函数方程”中
令y=0，得f（x）f（0）= f（x），
所以f（x）=0对任何实数x成立，
与“x<0时，f（x）>1”矛盾。
所以f（0）≠0，从而f（0）=1。
注：以上推理过程可以改进。
直接在“函数方程”中令y=0，x=-1，得
f（-1）f（0）= f（-1），于是f（0）= 1。
这样，我们有f（x）f（-x）=1，
再由f（-x）>1，有>1，
所以0< f（x）<1。
问题（1）获解。
再看第二个目标：
“若对任何实数x、y，有
f（x²）f（y²）≤ f（axy）恒成立，
求实数a的取值范围。”
寻找条件，要求实数a的取值范围，需要在
f（x²）f（y²）≤ f（axy）中将抽象函数符号f去掉。
需要怎样的条件才能去掉f？——函数的单调性！这就是一个隐含条件。
函数具有怎样的单调性呢？这是未知的，可建立如下解题主线（子目标）：
x₁<x₂ —→ f（x₁）∨ f（x₂）。
再寻找条件，与之接近的条件是
“x<0时，f（x）>1”。
但两者存在明显差异：不等式右边不同。只有消除了差异，才能利用条件。
当然，这里的差异消除也是很容易的，起点不等式移项即可。于是，
由x₁<x₂，得x₁-x₂<0。
结合题给条件，有
f（x₁-x₂）>1。①
与目标比较，需要将
f（x₁-x₂）转化为f（x₁）、f（x₂）的形式。
由此发现，题中的另一个条件（函数方程）恰好又是为此服务的（又一次说明了寻找条件的含义）。
构造相同，在“函数方程”中
令x=x ₁，y=-x ₂，得
f（x₁-x₂）= f（x₁）f（-x₂）。
代入①式，得
f（x₁）f（-x₂）>1。②
发现差异，与目标比较，需要将
f（-x₂）化为f（x₂）的形式。
寻找条件，注意已经得到的中间结论也是条件。
前面已经得到，f（x）f（-x）=1，
所以f（-x₂）=。
代入②，便有>1。
又由（1）的结论，对任何实数x，有
f（x）>0，所以f（x₂）>0，
所以f（x₁）> f（x₂），所以f是减函数。
这样，由f（x²）f（y²）≤ f（axy）恒成立，
即f（x₂ y₂）≤ f（axy）恒成立。
由于f是减函数，所以
x² y²≥ axy恒成立。③
联想相关知识：关于含有参数的不等式恒成立的问题，常用方法有
（i）赋值法：
先令变量取特定值，得出参数的范围，然后证明对这样的参数，不等式确实恒成立。
（ii）分离参数法：
f（a，x，y）≤0，等价于a≤g（x，y），
等价于a≤g（x，y）。
（或等价于a≥g（x，y），等价于a≥g（x，y）。）
（iii）图象法：
f（a，x）≤0恒成立，等价于y= f（a，x）的图象在x轴下方。
对于本题，只能使用方法（i）。
在不等式③中令x=y=1，得a≤2；
在不等式③中令x=1，y=-1，得
a≥-2，所以-2≤a≤2。
下面证明，当-2≤a≤2时，不等式③恒成立。
实际上，当xy=0时，不等式③显然成立。
当xy>0时，因为（x-y）²≥0，
所以x² y²≥2xy，
所以≥2≥a，
此不等式两边同乘以xy，
得x² y²≥axy。
当xy<0时，因为（x y）²≥0，
所以x² y²≥-2xy，
所以≤-2≤a，
此不等式两边同乘以xy，得
x² y²≥axy。
所以无论哪种情况，都有不等式③成立。故a的取值范围是[-2，2]。
具体解答如下：
【新写】（1）证明：在“函数方程”中
令y=0，x=-1，
得f（-1）f（0）= f（-1），
于是f（0）= 1。
再在“函数方程”中令y=-x，得
f（x）f（-x）= f（0）=1，
所以f（-x）=。
当x>0时，有-x<0。
于是，f（-x）>1，
即>1，所以0< f（x）<1。
（2）设x₁<x₂，则x₁-x₂<0。
结合题给条件，有f（x₁-x₂）>1。①
在题给“函数方程”中令x=x ₁，y=-x ₂，得
f（x₁-x₂）= f（x₁）f（-x₂）。
代入①式，得f（x₁）f（-x₂）>1。②
又f（x）f（-x）=1，
所以f（-x₂）=。
代入②，便有>1。
又由（1）的结论，f（x₂）>0，
所以f（x₁）> f（x₂），所以f是减函数。
于是，由题给“函数方程”，知
f（x²）f（y²）≤ f（axy）
等价于f（x² y²）≤ f（axy），
进而等价于x² y²≥ axy。（*）
在不等式（*）中令x=y=1，得a≤2；
在不等式（*）中令x=1，y=-1，
得a≥-2，所以-2≤a≤2。
下面证明，当-2≤a≤2时，不等式（*）恒成立。
实际上，当xy=0时，不等式（*）显然成立。
当xy>0时，因为（x-y）²≥0，
所以x² y²≥2xy，
所以≥2≥a，
此不等式两边同乘以xy，得
x² y²≥axy。
当xy<0时，因为（x y）²≥0，
所以x² y²≥-2xy，
所以≤-2≤a，
此不等式两边同乘以xy，得
x² y²≥axy。
所以无论哪种情况，都有不等式（*）成立。
故a的取值范围是[-2，2]。
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