撰文/张景中 中科院院士

把微积分变容易

恩格斯说，在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样，被看作人类精神的最高胜利了。

微积分不仅仅是人类伟大的理论成就和精神胜利，而且其应用极广。《科学世界》这一期有关微积分的科普文章，其中列举了微积分的一系列重要应用。而微积分的新的应用，还在不断涌现。例如，今年还有另一本科普杂志，刊登了一篇题为微积分战胜艾滋病的文章，讲的是科学家在微积分的帮助下找到了艾滋病的鸡尾酒疗法的故事。

由牛顿和莱布尼茨创建的微积分，是第一代的微积分。这是说不清楚的微积分。原理说不清楚，但应用仍蓬勃发展。微积分在说不清楚的情形下向前发展了一百三十多年。

由柯西和维尔斯特拉斯等，建立了严谨的极限理论和实数理论，巩固了微积分的基础，这是第二代的微积分。微积分终于说清楚了。但是由于概念和理论繁琐迂回，多数学子听不明白，知其然而不知其所以然。这样又发展了一百七十多年，直到今天。

历史上，以拉格朗日为代表的一些数学家，曾致力于不用无穷小也不用极限概念来建立微积分，但最终都没有成功。于是普遍认为极限或无穷小是微积分的基础。《普林斯顿微积分读本》第三章，开头就说：如果没有极限概念，微积分将不复存在。

几十年来，一些数学家致力于发展直观易懂、简易明快而不失严谨的第三代微积分。美国数学家拉克斯的书《微积分及其应用和计算》中，在这个方向有创新的研究。更多的学者，在微积分的直观化通俗化方面推出作品。中国数学工作者致力于此也有二十多年，出版了《画中漫游微积分》《微积分快餐》《微积分减肥快跑》《不用极限的微积分》等深入浅出的新一代微积分科普读物，还为北京、深圳、保定、大连、滨州几所高校写了基于新概念的微积分讲义，用于教学实践，让学习者能用较少的时间和精力就明白其原理，不但知其然而且知其所以然。

林群院士和笔者最近合作的“微积分之前可以做些什么”(《高等数学研究》2019年1月）一文表明，从一些很平常的想法出发，即使没有微积分（当然不用极限也不用无穷小），也能够系统而简捷地解决通常认为用微积分才能解决的问题。这些初等的方法适当包装一下，就成了第三代微积分基础的一部分。

第一代微积分和第二代微积分，在具体计算方法上基本相同。不同的是对原理的说明，前者说不清楚，后者说清楚了。

第三代微积分和前两代微积分，在具体计算方法上也没有不同。只是不用极限也不用无穷小，把原理说得更容易听明白，推理过程更平易简捷而同样严谨。

有的读者会问，关于平均速度和瞬时速度的关系，不用极限或无穷小怎么可能说明呢？其实很简单：对于匀速运动，它们相等；非匀速情形，瞬时速度有时比平均速度大，也有时比平均速度小。这个道理，小学生也不难理解。

前两代微积分，是从微观入手分析问题，再将微观转化为宏观，解决宏观的问题。而新一代的微积分，则发现了从宏观入手的途径，既能直接解决宏观的问题，也能通过转化解决微观的问题。新一代的微积分并不排斥极限和无穷小，只是把微积分放在极限理论之前来学习。微积分懂了，极限也好学了。但是，没有极限就没有微积分，已经成为历史。

著名的数学家阿蒂亚在1976年就任伦敦数学会主席时的演说中，有这样几句话：“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一。过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解。”

让孩子们都能容易地理解微积分，为此，很多数学家、数学教师、科普作家孜孜以求。本期的特辑文章体现了这方面的努力，和新一代微积分大方向一致，都是为了把微积分变容易。

作者简介

张景中，1995年当选中国科学院院士，1999～2007年任中国科普作家协会理事长。致力于定理机器证明和教育数学研究与实践。曾获1995年中国科学院自然科学奖一等奖、1997年国家自然科学奖二等奖、1982年国家发明奖二等奖以及2005年和2009年国家科技进步奖二等奖。热爱科普事业，著有《数学与哲学》《数学家的眼光》《从数学教育到教育数学》《一线串通的初等数学》《不用极限的微积分》等书。