海伦公式

01

本节所需要的一些基础知识:

①在直角三角形中，我们有射影定理（如图一）：

CD^2=AD*DB, AC^2=AD*AB, BC^2=BD*BA

②在一般三角形中，我们有余弦定理：

在△ABC中，∠A、∠B和∠C的对边分别为a、b、c，则

a^2=b^2 c^2-2bccosA，b^2=c^2 a^2-2cacosB，c^2=a^2 b^2-2abcosC。

③在一般三角形中：

AD=ACcosA,BD=BCcosB;三角形的面积S=1/2ab·sinC=1/2bc·sinA=1/2ca·sinB.

④已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2 y1·y2

如在图二中，

AB·AC=|AB|·|AC|cosA=|AB|·|AD|；BA·BC=|BA|·|BC|·cosB=|BC|·|BD|

但是在图三中，

AB·AC=|AB|·|AC|cosA=|AB|·|AD|；BA·BC=|BA|·|BC|·cosB=—|BC|·|BD|

02

海伦公式：假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 公式里的p为半周长:p=(a b c)/2

证明一：（利用勾股定理）

如图二，已知△ABC的三边长分别为a,b,c，CD为AB边上的高，记hc=CD,q1=AD,q=bd.由勾股定理得