二、直接法

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离和角)的等量关系,或几何条件简单明了易于表达,我们只需把这种关系转化为x,y的等式就能得到曲线的轨迹方程.

直接法求轨迹方程的一般步骤 ：

(1)建立恰当的直角坐标系;

(2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程;

(3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程.

经典例题：[2017石家庄市二模,20]

已知圆C:(x-1)² y²=r²(r>1),设A为圆C与x轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AM,并使弦AM的中点恰好落在y轴上.求点M的轨迹E的方程。

总结：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为:“建系、设点、列式、化简”.

三、定义法

某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的定义,则可根据定义设方程,求方程系数得到动点的轨迹方程.

定义法求轨迹方程的步骤

(1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义;

(2)设标准方程,求方程中的基本量;

(3)求轨迹方程.

经典例题：

已知圆C₁:(x 3)² y²=1和圆C₂:(x-3)² y²=9,动圆M同时与圆C₁及圆C₂相外切,求动圆M圆心的轨迹方程.

解析：如图所示，设动圆M与圆C₁及圆C₂分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|.

因为|MA|=|MB|，所以|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2.

这表明动点M到两定点C₂，C₁的距离之差是常数2.

根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C₂的距离大，到C₁的距离小），这里a=1,c=3,则b²=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x²-y2/8=1 (x≤-1).

总结：利用定义法求轨迹方程时,要看所求轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.