四、几何法

若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线、角平分线的性质、相似全等、隐藏和差为定值关系等),则可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标即可.

经典例题：[2016全国卷Ⅰ,20,12分][理]

设圆x² y² 2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

证明：|EA| |EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.

思路分析：通过证明|EB| |ED|，将|EA| |EB|转化为|EA| |ED|来证明，再利用椭圆的定义求解出点E的轨迹方程。要注意题目中几何条件对解析式的制约关系。

解析：圆A整理为(x 1)2 y2=16，A坐标(-1,0)，如图，

由BE∥AC,则∠C=∠EBD,

由AC=AD,则∠D=∠C,

∴∠EBD=∠D,则EB=ED,

∴AE EB=AE ED=AD=4

所以E的轨迹为一个椭圆，方程为x2/4 y2/3=1，(y≠0).

五、相关点法(代入法)

若动点满足的条件不便用等式表示,但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的,且相关点满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点坐标所满足的方程求得动点的轨迹方程.

相关点法求轨迹方程的步骤

(1)与动点M(x,y)相关的点P(x₀,y₀)在已知曲线上;

(2)寻求关系式x₀=f(x,y),y₀=g(x,y);

(3)将x₀,y₀代入已知曲线方程;

(4)整理关于x,y的关系式得到M的轨迹方程.

经典例题：[2017全国卷Ⅱ,20,12分][理]

思路分析：设出点P，M的坐标，根据题目中的向量关系，得出用点P的坐标表示点M的坐标，代入椭圆方程即可求也点P的轨迹方程。