【问题的历史背景】

费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅·费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求作一点P，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．后来人们称这个点为“费马点”.

【数学定义】

费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点的距离之和最短的点.

1、若三角形的三个内角均小于120°，那么三条距离连线（下图的PA、PB、PC）正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°（即∠APB=∠APC=∠BPC=120°），所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.

2、若三角形有一个内角大于或等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.

【数学问题】

引例：有甲、乙、个丙三个村庄，要在中间建一供水站向三个村庄送水，现要确定供水站的位置以使所需管道的总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：

如图，在△ABC内求作一点P，使P到三个顶点的距离之和PA PB PC最小.

【问题解决】

如图，分别以AB、AC为边向外侧作等边三角形ABD、ACE，连结CD、BE交于一点，则该点即为所求的P点（即费马点）.

【问题证明】如图，

在△AEB和△ACD中，

∵AB=AD，AE=AC，

∠BAE=∠DAC=∠BAC＋60°，

∴△ABE≌△ACD.

∴∠ABE=∠ADC，

在△BPM和△DAM中，

∵∠BMP=∠DMA，

∴∠BPM=∠DAM=60°，

∴∠BPC=120°，