今天我向大家介绍一下《几何原本》比较特别的二倍角定理以及如何只用尺规作正五边形。
二倍角定理是《几何原本》第4卷“与圆有关的直线图形的作法”中的第10个命题，在二倍角定量后面的4个命题都是有关正五边形的命题证明，都需要用到二倍角定理。
下面是二倍角定量的证明过程:
命题10:作一个等腰三角形，使它的每个底角是顶角的二倍。
证明:
1、任取一条线段AB，在AB上取一点C，使以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积。（第2卷 命题11）具体详见我的文章。
2、以A为圆心、AB为半径作圆BDE。
3、作圆BDE的拟合线BD，使BD=AC。（第4卷 命题1）
4、连接AD和DC，作三角形ACD的外接圆ACD。（第4卷 命题5）
5、因为以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积，AC=BD，所以以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以BD为边的正方形面积，于是BD与圆ACD相切。（第3卷 命题37）
6、因为BD与圆相切，DC是过切点D的圆的拟合线，所以角BDC等于相对弓形上的角DAC。（第3卷 命题32）
7、因为角BDC=角DAC，两边同时加上角CDA，所以角BDA=角CDA 角DAC。
8、又因为外角BCD=角CDA 角DAC（第1卷 命题32），所以角BDA=角BCD。
9、又因为AB=AD，所以角BDA=角CBD。（第1卷 命题5）
10、所以角BCD=角CBD，于是DB=DC。（第1卷 命题6）
11、又因为BD=CA，所以DC=CA，所以角CDA=角CAD（第1卷 命题5）
12、所以角CDA与角CAD的和是角DAC的二倍，又角BCD=角CDA 角CAD，于是角BCD是角DAC的二倍。
13、又因为角BCD=角BDA=角DBA，所以角BDA和角DBA都是角DAB的二倍。
14、所以等腰三角形ABD的底边BD上的每个角都是顶角的二倍。
证明完毕。
以下是作图过程：
步骤1：任取一条线段AB，延长BA至a。
步骤2：以A为圆心，AB为半径作圆与Ba相交于b，此时bA=AB。
