一、勾股定理的定义
1.定义：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a² b²=c².即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意：勾—最短的直角边；股：较长的直角边；弦：斜边。勾股定理反应了直角三角形三边间的关系，因此可以借助勾股定理来解决有关边长或面积、平方关系等问题。
2.勾股定理的验证
（1）勾股定理验证的思路：用拼图法验证勾股定理的思路:①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,那么面积不会改变；②根据同一图形面积的不同表示方法列出等式,推导出勾股定理。
（2）勾股定理验证的实质：勾股定理的验证是通过拼图法,即图形割补来完成的,探索的关键是要找面积相等,通过面积之间的相等关系,将“形”的问题转化为“数”的问题。
拓展延伸：
步骤：①拼出图形;②写出图形面积表达式;③找出等量关系;④恒等变形;⑤推导出勾股定理；
原则：图形割补、拼接前后不重叠、没有空隙。
二、勾股定理的应用
1. 几何图形中的应用：在直角三角形中,计算或证明,即已知两边的长求第三边的长,或者证明含有平方关系的几何题；
2. 实际问题中的应用：在实际问题中应用广泛,建筑测量、工程设计等都常用到勾股定理.一般情况下,遇到求高度、长度、距离、面积等实际问题时,可以构造直角三角形,运用勾股定理求解；
3. 用勾股定理作长度为无理数√n的线段：构造一个直角三角形,利用勾股定理,通过作两直角边,作出斜边长是无理数的线段；
4.网格中画长度为无理数√n的线段的步骤：(1)设法将n表示成两个正整数的平方和;(2)构造直角三角形,使直角三角形的两条直角边长等于第一步得出的两个正整数的值,斜边即为长为√n的线段。
三、勾股定理应用注意事项
1. 勾股定理只适用于直角三角形；
2. 运用勾股定理时，要分清直角边和斜边，若题目没有表明，则需分类讨论；
3. 勾股定理是“数”与“形”的结合，是一种常规的数形结合思想。
四、构造直角三角形的常用方法
1. 作高：通过已知条件，对三角形任一顶点作对边上的高；
2. 补全：对不规则图形将其补全为直角三角形；
3. 分割：
五、直角三角形边的关系（常考点）
1. 斜边上的高×斜边=两直角边的乘积（重要结论）；
2. 斜边上的高等于斜边的一半；
3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
4. 勾股定理
六、特殊直角三角形
1.等腰直角三角形：三边关系：1∶1∶√2；
2.30°、60°、90°角直角三角形：三边关系：1∶√3∶2。
易错易混题型
易错点一：用勾股定理时未对边的类型分类讨论导致漏解
1.已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边的长.
错解警示 误认为本题中12,5是直角边长而致错.当题目中没有明确说明哪条边是斜边时,要分类讨论.
易错点二：忽视勾股定理应用的前提条件致错
2.已知△ABC的三边长为整数,且较短两边的长分别为3和4,则最长边的长为 .
错解警示 勾股定理必须在直角三角形中使用,在没有说明的情况下,三角形可能是直角三角形,也可能不是,不能因为较短两边的长为3,4,就认定三角形是直角三角形.
易错点三：在立体图形上,不能正确确定点的位置致错
3.如图所示,圆柱的高为15 cm,底面半径为8/πcm.在A点的一只蚂蚁想吃到B点的食物,则蚂蚁爬行的最短路程是 cm.
例1、 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
(1)已知a=b=6,求c;
(2)已知c=3,b=2,求a;
(3)已知a∶b=2∶1,c=5,求b.
例2、在△ABC中,AB=AC=15,BC=18,则BC边上的高为 ( )
A.12 B.10 C.9 D.8
例3、如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形
的面积是1,那么①号正方形的面积是 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
