小学数学有一种类型叫韩信点兵，也叫剩余理论。同余数的题一般比较容易，找公倍数就可以，不是同余数就有一定难度，本文29道习题，带有详细解析，有一定的参考学习价值。
1.一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是（ ）
A. 72 B. 37 C. 68 D. 33
2. 幼儿园老师给一群小朋友分糖果，如果每人分7颗，则还差6颗；如果每人分6颗，则又多出7颗，那么共有糖果（ ）颗．
A. 85 B. 84 C. 83 D. 82
3. 设ɑ是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用ɑ除64的余数是4；用ɑ除155的余数是5；用ɑ除187的余数是7，则ɑ=（ ）
A. 10 B. 15 C. 30 D. 60
4. 甲、乙、丙三人掷骰子，每人掷三次，他们掷出的点数的积都是24．将每人掷出的点数的和由大到小排列，依次是甲、乙、丙，则点数3是________ 掷出的．（点数：向上的一面上的数字．骰子的六个面上的点数分别是1至6）
5.被3除余2，被5除余4，被7除余4的最小自然数是________ ．
6.一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是________ ．
7. 某数用3除余2，用7除余4，用11除余1，满足这些条件的最小自然数是________ ．
8.有一个数除以5余数是2，除以7余数是3，这个数除以35的余数是________ ．
9.一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，这个两位数是________ ．
10.六位数6X6X6X能被11整除，x是0到9中的数，这样的六位数是________ ．
11. 有一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，除以9余5．这个数至少是________ ．
12.篮子里有鸡蛋若干个，每次取出3个，最后剩1个；每次取5个，最后剩下3个；每次取7个，最后剩下5个，则篮子里最少有________ 个鸡蛋．
13.五年级的学生排队做操，如果10人一行则余2人，如果12人一行则余4人，如果16人一行则余8人，那么五年级最少有________ 人．
14. ( 1分 ) 自然数390，369，425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2014被 这个自然数除的余数是________ ．
15.某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是________ ．
16.有一堆球少于10个，3个3个地数，最后剩2个；5个5个地数，最后剩3个．这些球一共有________ 个．
17. 一个数被3除余2，被4除余2，被5除余4，符合条件的500以内的最大数是________ ．
18. 一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是________ ．
19. 用一个数除200余4，除235则不足3．这个数最大是________ ．
20.某班学生分组讨论，若每组3人，则最后余2人，若每组5人，则余3人，若每组7人，则余4人．这个班最少有________ 人．
21. 传说中汉朝大将韩信善于带兵，他就带领军队南征北伐，为汉高祖刘邦打败项羽，建立汗马功劳，他清点士兵的时候没有一个个数，他是这么数的，比如，如果三个三 个数士兵，那么剩下两人，五个五个数士兵．剩下三个，七个七个数士兵，那么剩下两个人，请问如何计算出全队至少有多少个士兵呢？
22. 银行有200个保险柜，分别编号1﹣200号．为了保险起见，每个保险柜的钥匙不能编上与柜相同的号码．现在设计一种将钥匙编号的方法：每个保险柜的钥匙用四个数字来编号（首位数字可以是0），从左起的四个数字依次是保险柜的编号除以2，3，5，7所得的余数，如8号保险柜的钥匙编号为0231．问编号为1233的钥匙是几号保险柜的？
23.一个两位数除以3或者除以2都余1，除以9余4，求这个两位数．
24.某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？
25.一个数被6除余4，被7除余3，被11除余8．这个数最小是多少？
26.学校九班到图书馆借图书，如借35本，平均分发给每个小朋友差一本；如借56本，平均分发给每个小朋友剩2本；如借69本，平均分发给每个小朋友差3本，这个班的小朋友最多有多少人？
27.五一班开展数学课外活动，每组6人余3人，每组7人余3人，每组8人余5人．五一班有多少人？
28.一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13．求所有满足条件的自然数．
29.某车间原有工人不少于63人．在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都增调1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品，共生产1994件．试问：1月几号开始调进工人？共调进多少工人？
答案解析
1.【答案】C
【解析】【解答】5×7×2－2=68。
【分析】本题是剩余定理的运用，这个两位数除以5余3，说明这个数加上2后是5的倍数，除以7余5，说明这个数加上2后是7的倍数，所以，这个数加上2后是5和7的公倍数，符合要求的最大两位数，5×7×2－2=68。
2.【答案】A
【解析】【解答】(7 6)×7-6=85(颗)
故本题的答案为：A
【分析】每人分7颗与每人分6颗，糖果数相差6 7=13个，因此有13个小朋友，再根据人数求出糖果的数量。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：64﹣4=60
155﹣5=150
187﹣7=180
所以60、150、180的最大公因数是：5×3×2=30
因此，a=30．故选：C．
【分析】根据题意可知，a一定能整除（64﹣4）、（155﹣5）、（187﹣7），即a一定是60、150、180的最大公因数，只要用短除法即可求出最大公因数．
4.【答案】 丙
【解析】【解答】解：3次掷的点数之积分别都是24，
只有这3种可能1，4，6；2，3，4；2，2，6；
3次掷的点数之和从大到小的顺序为1，4，6；2，2，6；2，3，4．
故答案为：丙．
【分析】根据题意甲乙丙每次掷出的点数既是1至6中的数字，也得是24的因数，所以掷出的点数是1、2、3、4、6，3次掷的点数之积分别都是24，只有这3种可能1，4，6；2，3，4；2，2，6；3次掷的点数之和从大到小的顺序为 1，4，6；2，2，6；2，3，4．由此可以解决问题．
5.【答案】74
【解析】【解答】解：由题意可知，把这个数加1，则它同时被3和5整除，也就是被15整除，
所以这个数是15k﹣1的形式，即14，29，44，59，74，89，…，
因为这个数被7除余4，
经验证，这个数是74； 故答案为：74．
【分析】由于这个数被3除余2，被5除余4，所以把这个数加1，则它同时被3和5整除，也就是被15整除，所以这个数是15k﹣1的形式，即14，29，44，59，74，89，…，然后再根据被被7除余4这个条件验证这些数，这列数中最小的就是所求．
6.【答案】163
【解析】【解答】解：7和8的最小公倍数：7×8=56，
该数为：x=56n﹣5，
n=1时，x=51，被9除余6，
n=2时，x=107，被9除余8，
n=3时，x=163，被9除余1，
n=4时，x＞200，
所以这个数是163，
故答案为：163．
【分析】由被7除余2，被8除余3，可知这个数加上5，就能被7和8整除，那就先求出7和8的最小公倍数7×8=56，再找出小于200的7和8的公倍数有56，112，168，分别减去5，为：51，107，163；再分析这些公倍数中谁能被9除余1，经计算只有163符合，由此解答即可．所以这个数是163．
7.【答案】221
【解析】【解答】解：（1）找到能被3，7整除，且除以11余1的最小数，为：
3×7×10=210．
（2）找到能被3，11整除，且除以7余4的最小数，为：
3×11×5=165．
（3）找到能被7，11整除，且除以3余2的最小数，为：
7×11=77．
（4）把找到的三个最小数求和，为：
210 165 77=452．
（5）求出3，7，11的最小公倍数，为：
3×7×11=231
（6）把求出的和与最小公倍数比较，如果和大于最小公倍数，就减去最小公倍数
可以重复进行，直到结果小于最小公倍数．
452﹣231=221＜231．
221就是满足要求的最小数，所以m=221．
【分析】根据中国剩余定理来解答此题．
8.【答案】17
【解析】【解答】解：除以5余2的数有：7、12、17、22、27…
除以7余数是3的数有：10、17、24…
所以，除以5余数是2，同时除以7余数是3的数是17，
则，这个数除以35的余数是17．
故答案为：17．
【分析】此题可采用列举法由一般到特殊进行推理解决．如：除以5余2的数，应是5的倍数 2；除以7余3的数，应是7的倍数 3，从中找出同时符合“除以5余数是2且除以7余数是3的数”，即可解决问题．
9.【答案】 14
【解析】【解答】解：58﹣2=56，73﹣3=70，85﹣1=84能被这个两位数整除，这个两位数一定是56、70和84的公约数．
由可可见，56、70、84的两位数公约数是2×7=14，可见这个两位数是14．
故答案为14．
【分析】用一个两位数除58余2，除73余3，除85余1，那么58﹣2=56，73﹣3=70，85﹣1=84能被这个两位数整除，这个两位数一定是56、70和84的公约数．
由此可见，56、70、84的两位数公约数是2×7=14，可见这个两位数是14．
10.【答案】666666
【解析】【解答】解：根据题意
﹣9≤18﹣3x≤18，
所以18﹣3x=0或11．
①当18﹣3x=0时，x=6，
②当18﹣3x=11时，x不为整数，故舍去．
所以，这个六位数是666666．
故答案为：666666．
【分析】所有的奇数位置上的数之和减去所有偶数位置上数字之和=11的倍数，那么这个数就能被11整除．因为，0≤x≤9，所以﹣9≤6×3﹣3x≤18，即：﹣9≤18﹣3x≤18．因为，18﹣3x能被11整除，所以奇数位的和与偶数位的和的差能被11整除，所以，18﹣3x=0或11．当18﹣3x=0时，x=6，当18﹣3x=11时，x不为整数，故舍去．所以，这个六位数是666666．
11.【答案】158
【解析】【解答】解：（5、7）=35；（3、7）=21；（3、5）=15；（3、5、7）=105．
35正好除以3余2；为了使21除以5余3，则21×3=63；为了使15除以7余4，则15×4=60．
所以35 63 60﹣105=53．即：除以3余2，除以5余3，除以7余4”的最小数是53．
因此“除以3余2，除以5余3，除以7余4，除以9余5”的最小数是：53×3﹣1=158．
故答案为158．
【分析】用剩余定理求得“除以3余2，除以5余3，除以7余4”的最小数是53．
又因为被9除余5，所以把53扩大3倍减去1后才能满足条件，即53×3﹣1=158．
那么158就是所求的最小数．
12.【答案】103
【解析】【解答】解：因为3、5和7的最小公倍数是3×5×7=105，
所以篮子里的鸡蛋最少有：105﹣2=103（个），
答：篮子里最少有103个鸡蛋；
故答案为：103．
【分析】根据题意得出此题要求的数是能够被3、5、7整除还少2的数，由此求出3、5、7的最小公倍数再减去2即可．
13.【答案】232
【解析】【解答】解：10=2×5，
12=2×2×3，
16=2×2×2×2，
所以10、12、16的最小公倍数是2×2×2×2×3×5=240，
因为10﹣2=8，12﹣4=8，16﹣8=8，
所以240﹣8=232（人）；
答：五年级最少有232人．
故答案为：232
【分析】先求10、12、16三个数的最小公倍数，即240；又10﹣2=8，12﹣4=8，16﹣8=8，即他们都和最小公倍数相差8，因此五年级最少有240﹣8=232（人），解决问题．
14.【答案】5
【解析】【解答】解：390﹣369=21=3×7
425﹣369=56=7×8
425﹣390=35=5×7
21，56，35能同时被这个数整除，
21，56，35大于1的公约数为7，
2014÷7=287…5
答：2014被这个自然数除的余数是5．
故答案为：5．
【分析】可设390=x a a是余数，369=y a，425=z a，x，y，z能被这个自然数整除，两两相减之后，比如390﹣369=x﹣y能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时能整除它们的差，然后求出公约数即可解答．
15.【答案】127
【解析】【解答】解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…
其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数
同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7
最终符合题意的是127．
答：该年级的人数是127．
故答案为：127．
【分析】此题属于孙子定理，又叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分部求解．
16.【答案】8
【解析】【解答】解：10以内除以3余2的数有5，8，
在其中除以5余3的数是8．
所以这些球一共有8个．
故答案为：8．
【分析】先找到除以3余2的数；再在这些数中得到除以5余3的数即可．
17.【答案】494
【解析】【解答】解：被5除余4，个位上的数是4或9，
被4除余2，说明这个数是偶数，所以这个数的个位一定是4，
符合条件的500以内的最大数百位一定是4，
被3除余2，个位减去2就是2，这个数就能被3整除，2 4=6，十位上能填0、3、6、9，9最大，所以这个数是494．
故答案为：494．
【分析】被5除余4，个位上的数是4或9，被4除余2，说明这个数是偶数，所以这个数的个位一定是4，符合条件的500以内的最大数百位一定是4，3的倍数中492 2=494符合题意，所以这个数是494．
18.【答案】11
【解析】【解答】解：一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是 11； 故答案为：11．
【分析】一个数除以3余数是2的数有：5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、…
一个数除以5余数是1的数有：6、11、16、21、26、31、36、41、…
一个数除以3余数是2除以5余数是1，这个数是11、26、41、56、71、…
这个数除以15的余数是11 .
19.【答案】14
【解析】【解答】解：200﹣4=196，235 3=238
196=2×2×7×7
238=2×7×17
196和238的最大公因数是2×7=14
答：这个数最大是14
故答案为：14．
【分析】由于用它去除200余4，说明这个最大自然数是200﹣4，235 3的公因数，求这个数最大是多少，即求196和238的最大公因数，先把196和238进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；由此解答即可．
20.【答案】53
【解析】【解答】解：
（1）3和5的最小公倍数是15，15÷7=2…1，把15扩大4倍是：15×4=60，60÷7=8…4；
（2）同理可以求出，3和7的最小公倍数是21，21÷5=4…1，把21扩大3倍是：21×3=63，63÷5=12…3；
（3）7和5的最小公倍数是：7×5=35，35÷3=11…2；
3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105，
60 63 35﹣105=53；
所以这个班最少有53人．
故答案为：53．
【分析】先求出3、5、7两两的最小公倍数，3和5的最小公倍数是15，15÷7=2…1，把15扩大4倍是60，60÷7=8…4；同理可以求出，3和7的最小公倍数是21，21÷5=4…1，把21扩大3倍是63，63÷5=12…3；7和5的最小公倍数是35，35÷3=11…2；3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105，60 63 35﹣105=35；所以这个班最少有53人．
21.【答案】解：3×7 2=23（人）
因为，23÷5=4…3，
所以，23人符合五个五个数士兵，剩下三个，
所以，最少有23人．
答：全队至少有23个士兵．
【解析】【分析】根据“三个三个数士兵，那么剩下两人，七个七个数士兵，那么剩下两个人，”先求出3和7的最小公倍数是：3×7=21，然后再加上2就是符合第一个和第三个条件的人数：21 2=23人，然后验证23除以5是否余3即可得出答案．
22.【答案】解：设这个数是x，x是除以2余数1，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是3的数．
如果x减少3，则同时被2、5、7整除，并且被3除余2；
2×5×7=70；
70÷3=23…1，
余数是1，那么
70×2÷3余数就是2；
所以符合条件的最小的一个数是：70×2 3=143；
在1～200范围内，只有143一个符合要求．
答：这个钥匙是143号保险箱的钥匙．
【解析】【分析】四个数字依次是保险柜的编号除以2，3，5，7所得的余数，编号是1233，就找出除以2余数1，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是3的数即可．
23.【答案】解：这个数减去1，就是2与3的公倍数，除以9就余3，
9的倍数9、18、27、36、45、…90，奇数有：9、27、45、63、81、99（因为9的倍数加上3就是2与3的公倍数，只有奇数加上3才是偶数，2与3的公倍数肯定是偶数），
12、30、48、66、84再把这几个数加上1就行，因此符合条件的两位数有：13、31、49、67、85．
【解析】【分析】根据“一个两位数除以3或者除以2都余1，除以9余4，”说明这个数减去1就是2与3的公倍数，除以9就余3，
9的倍数在100以内的只有：9、18、27、45、54、63、72、81、90、99；
再找出其中倍数是奇数的（因为这些数加上3就是2与3的公倍数，2与3的公倍数又是偶数）：9、27、45、63、81、99；
再加上3后是12、30、48、66、84、102（去掉），最后加上1就行，所以符合条件的两位数是：13、31、49、67、85 .
24.【答案】解：满足除以8余1的数从小到大排列：8×1 1=9，那么9÷7=1…2，不符题意；
8×2 1=17，那么17÷6=2…5，不符题意；
8×3 1=25，那么25÷6=4…1，不符题意；
8×4 1=33，那么33÷6=5…3，33÷7=4••5，满足条件；
所以这个数最小是33．
【解析】【分析】用“大数翻倍法”：满足除以8余1的数从小到大排列：8×1 1=9，不符题意； 8×2 1=17，不符题意； 8×3 1=25，不符题意； 8×4 1=33，满足条件，所以这个数最小是33．
25.【答案】解：设所求的正整数为m，则由题意有：
m=6d 4 （d是整数） ①
m=7k 3 （k是整数） ②
m=11p 8 （p是整数） ③
由①与②式得6d 4=7k 3
即6d=7k﹣1=6k k﹣1
即d=k （k﹣1）÷6
由于d，k是整数，所以（k﹣1）能被6整除
所以可令k﹣1=6e （e是整数）
即k=6e 1 ④
把④式代入②得m=7（6e 1） 3=42e 10 ⑤
由③与⑤式得11p 8=42e 10
即11p=42e 2=44e﹣2e 2
即p=4 2（﹣e 1）÷11 ⑥
由于p，e都是整数，所以（﹣e 1）能被11整除
所以可令﹣e 1=11r （r是整数）
即e=1﹣11r代入⑤式得
m=42（1﹣11r） 10
m=52﹣462r
要使m取最小值，则r=0即可
于是m=52．
答：这个数最小是52．
【解析】【分析】设所求的正整数为m，则由题意有：
m=6d 4 （d是整数） ①
m=7k 3 （k是整数） ②
m=11p 8 （p是整数） ③
然后进行分析讨论，得出答案．
26.【答案】解：因为：35 1=36，56﹣2=54，69 3=72
36=2×2×3×3
54=2×3×3×3
72=2×2×2×3×3
（36，54，72）=2×3×3=18
答：幼儿园最多有18个小朋友．
【解析】【分析】本题用公因数解答比较较简单，要求这个班的小朋友最多有多少人，实际上是求（35 1），（56﹣2），（69 3）的最大公因数，然后分解质因数解答即可．
27.【答案】解：因为每组6人和每组7人同余，
所以，6×7 3=45，
又因为，45÷8=5…5；
所以，符合每组8人余5人，所以这个班最少有45人．
答：五一班有45人．
【解析】【分析】因为每组6人和每组7人同余，所以先求出6、7两数的最小公倍数，然后再加上3，即：6×7 3=45，因为45÷8=5…5；符合每组8人余5人，所以这个班最少有45人．
28.【答案】解：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13﹣8=5，又显然q≤13．
q=5时，r=8，n=5×8 4=44；
q=6时，r=7，n=6×8 4=52；
q=7时，r=6，n=7×8 4=60；
q=8时，r=5，n=8×8 4=68；
q=9时，r=4，n=9×8 4=76；
q=10时，r=3，n=10×8 4=84；
q=11时，r=2，n=11×8 4=92；
q=12时，r=1，n=12×8 4=100；
q=13时，r=0，n=13×8 4=108．
满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44．
答：满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44．
【解析】【分析】先依据题目条件求出这个数除以9的余数的取值范围，从而能确定出这个数除以8的商的取值范围，在这两个值的取值范围内，逐一选用，就能得到符合要求的自然数，问题得解．
29.【答案】解：因为原有工人不少于63人，并且
1994=63×31 41，
1994=64×31 10，
1994＜65×31，
所以，这个车间原有工人不多于64人，即这个车间原有工人63人或64人．
这个车间原有工人1月份完成产品是
63×31=1953或64×31=1984（件）．
于是可知，余下的41件或10件产品应该表示为连续自然数之和．据已知，不能是1月31日调进工人，设第一天调进x名工人，共调入n天，那么显然2≤n≤8．事实上，九个连续自然数之和最小为
1 2 3 4 5 6 7 8 9=45＞41．
经检验，当n=2时x=20，并且有：
20 21=41；
当n=4时x=1，并且有：
1 2 3 4=10．
答：从1月30日开始调进工人，共调进工人21名；或者从1月28日开始调进工人，共调进工人4人．
【解析】【分析】因为原有工人不少于63人，并且 1994=63×31 41，1994=64×31 10，1994＜65×31，所以，这个车间原有工人不多于64人，即这个车间原有工人63人或64人．这个车间原有工人1月份完成产品是63×31=1953或64×31=1984（件）．于是可知，余下的41件或10件产品应该表示为连续自然数之和．
